Der Satz von Müntz-Szász () ist einer der Approximationssätze des mathematischen Gebiets der Analysis. Er geht auf Arbeiten der beiden Mathematiker Herman (Chaim) Müntz und Otto Szász aus den Jahren 1914 bzw. 1916 zurück. Der Satz behandelt, anschließend an den klassischen Approximationssatz von Weierstraß, die Frage der Bedingungen, unter denen die stetigen komplexwertigen Funktionen auf dem abgeschlossenen Einheitsintervall durch Linearkombinationen geeigneter Potenzfunktionen gleichmäßig approximiert werden können.Walter Rudin: Reelle und Komplexe Analysis. 2009, S. 374–377
Formulierung des Satzes Der Darstellung von Walter Rudin folgend kann der Approximationssatz angegeben werden wie folgt:Rudin, op. cit., S. 375 Sei der zum Einheitsintervall gehörige Funktionenraum der stetigen komplexwertigen Funktionen , versehen mit der Maximumsnorm, und sei eine Folge reeller Zahlen mit . Sei weiter der topologische Abschluss des -linearen Unterraums, der von den Potenzfunktionen erzeugt wird. Dann gilt: (a) Dann und nur dann ist , wenn gilt . (b) Ist jedoch und ist weiter , so ist die Potenzfunktion nicht in enthalten.
Andere Version Der Satz von Müntz-Szász, der bei einigen Autoren oft auch nur als Satz von Müntz bezeichnet wird, gab Anlass zu einer Vielzahl von Verallgemeinerungen und weitergehenden Untersuchungen.Günter Meinardus: Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung. 1964, S. 6–10Arnold Schönhage: Approximationstheorie. 1971, S. 8 ff., S. 49 Dabei wurde und wird, wie es schon Otto Szász in 1916 tat und wie in der Folge von anderen Autoren aufgegriffen wurde, von der Voraussetzung, dass die dort auftretenden Exponenten positive Zahlen sein sollen, in der Regel abgewichen. Stattdessen werden komplexe Exponenten mit positivem Realteil betrachtet, für die zwei gewisse unendliche Reihen divergieren bzw. konvergieren. Man gewinnt damit etwa die folgende Version:O. Szász: Über die Approximation stetiger Funktionen durch lineare Aggregate von Potenzen. In: Math. Ann., 77, S. 482–496A. R. Siegel: On the Müntz-Szász theorem for C[0,1]. In: Proc. Amer. Math. Soc., 36, S. 161–166 Sei der oben schon gegebene Funktionenraum und sei eine Folge komplexer Zahlen mit . Sei weiter der topologische Abschluss des von den Potenzfunktionen erzeugten -linearen Unterraums. Dann gilt: (a) Im Falle, dass gilt, ist . ist die komplexe Betragsfunktion. (b) Andererseits ist im Falle, dass gilt, .
Literatur
Einzelnachweise
Anmerkungen
Kategorie:Analysis Muntz-Szasz