Die Littlewood-Paley-Theorie beschreibt in der harmonischen Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik, das Erweitern von gewissen Resultaten über -Funktionen auf -Funktionen für . Sie wird normalerweise als Ersatz für Orthogonalitätsargumente verwendet, die für -Funktionen nur gelten, wenn ist. Eine Implementierung besteht darin, eine Funktion zu untersuchen, indem sie in Funktionen mit lokalisierten Frequenzen zerlegt wird, und die Littlewood-Paley--Funktion zu verwenden, um sie mit ihrem Poisson-Integral zu vergleichen. Der 1-Variablen-Fall wurde von J. E. Littlewood und R. PaleyLittlewood, J. E.; Paley, R. E. A. C. (1931), Theorems on Fourier Series and Power Series, J. London Math. Soc., 6 (3): 230–233, doi:10.1112/jlms/s1-6.3.230Littlewood, J. E.; Paley, R. E. A. C. (1937), Theorems on Fourier Series and Power Series (II), Proc. London Math. Soc., 42 (1): 52–89, doi:10.1112/plms/s2-42.1.52Littlewood, J. E.; Paley, R. E. A. C. (1938), Theorems on Fourier Series and Power Series (III), Proc. London Math. Soc., 43 (2): 105–126, doi:10.1112/plms/s2-43.2.105 entwickelt und von den polnischen Mathematikern A. Zygmund und J. Marcinkiewicz in den 1930er Jahren unter Verwendung der Theorie komplexer Funktionen weiterentwickelt.Zygmund, A. (2002) , Trigonometric series. Vol. I, II, Cambridge Mathematical Library (3rd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-89053-3, MR 1963498, Kapitel XIV, XV E. M. Stein erweiterte die Theorie später auf höhere Dimensionen unter Verwendung von Techniken für reelle Variablen.

Die dyadische Zerlegung einer Funktion Die Littlewood-Paley-Theorie verwendet eine Zerlegung einer Funktion in eine Summe von Funktionen mit lokalisierten Frequenzen. Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine solche Zerlegung zu konstruieren; eine typische Methode ist die folgende.

Wenn eine Funktion auf ist und eine messbare Menge (im Frequenzraum) mit charakteristischer Funktion ist, dann ist über seine Fourier-Transformation definiert .

Informell gesehen, ist der Teil von , dessen Frequenzen in liegen.

Ist eine Menge von messbaren Mengen, die bis auf Maß 0 disjunkt sind und deren Vereinigung (bis auf eine Nullmenge) ganz ist, dann kann eine geeignete Funktion (zum Beispiel ) als eine Summe von Funktionen für geschrieben werden.

Falls aus den Mengen der Form

besteht, wobei eine ganze Zahl ist, so ergibt dies eine sogenannte „dyadische Zerlegung“ .

Es gibt viele Variationen dieser Konstruktion; zum Beispiel kann die charakteristische Funktion einer Menge, die in der Definition von verwendet wird, durch eine glattere Funktion ersetzt werden.

Eine wichtige Anwendung der Littlewood-Paley-Theorie ist der Satz von Littlewood-Paley, der die Größe der Funktionen in Abhängigkeit der Größe von beschränkt. Es gibt viele Versionen dieses Theorems, die den verschiedenen Möglichkeiten der Zerlegung von entsprechen. Eine typische Abschätzung ist die Begrenzung der -Norm von durch ein Vielfaches der -Norm von .

In höheren Dimensionen ist es möglich, diese Konstruktion zu verallgemeinern, indem man Intervalle durch Rechtecke mit zu den Koordinatenachsen parallelen Seiten ersetzt. Dabei handelt es sich um recht spezielle Mengen, was die Anwendungen auf höhere Dimensionen beschränkt.

Die Littlewood–Paley-g-Funktion Die -Funktion ist ein nichtlinearer Operator auf , der zur Kontrolle der -Norm einer Funktion in Form ihres Poisson-Integrals verwendet werden kann. Das Poisson-Integral von ist für definiert durch ,

wobei der Poisson-Kern in der oberen Hälfte durch

gegeben ist. Die Littlewood–Paley--Funktion ist definiert durch .

Eine grundlegende Eigenschaft von ist, dass mit ihr mittels eine neue Norm auf definiert werden kann, die äquivalent zur üblichen -Norm ist. Das heißt, für ist das Verhältnis der -Normen von und nach oben und unten durch feste positive Konstanten begrenzt, die von und , aber nicht von abhängen.

Anwendungen Eine frühe Anwendung der Littlewood-Paley-Theorie war der Beweis, dass die Folge fast überall konvergiert, wenn die Partialsummen der Fourier-Reihen einer periodischen -Funktion () sind und eine Folge ist, die für ein festes erfüllt. Dies wurde später durch den Satz von Carleson und Hunt verbessert. Dieser zeigt, dass selbst fast überall konvergiert.

Die Littlewood-Paley-Theorie kann auch zum Beweis des Multiplikatorsatzes von Marcinkiewicz verwendet werden.

Literatur

Coifman, R. R.; Weiss, Guido (1978), "Book Review: Littlewood-Paley and multiplier theory", Bulletin of the American Mathematical Society, 84 (2): 242–250, doi:10.1090/S0002-9904-1978-14464-4, , MR 1567040 Edwards, R. E.; Gaudry, G. I. (1977), Littlewood-Paley and multiplier theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-07726-8, MR 0618663

Frazier, Michael; Jawerth, Björn; Weiss, Guido (1991), Littlewood-Paley theory and the study of function spaces, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 79, Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC, doi:10.1090/cbms/079, ISBN 978-0-8218-0731-6, MR 1107300 Stein, Elias M. (1970), Topics in harmonic analysis related to the Littlewood-Paley theory., Annals of Mathematics Studies, No. 63, Princeton University Press, MR 0252961 Zygmund, A. (2002) , Trigonometric series. Vol. I, II, Cambridge Mathematical Library (3rd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-89053-3, MR 1963498

Einzelnachweise

Kategorie:Harmonische Analyse