In der Mathematik ist das Elliptische Nomen (analog zum englischen Wort „nome“: Bezirk, Name) eine nichtelementare Funktion. Diese Funktion entsteht durch eine elementare Kombination aus vollständigen elliptischen Integralen erster Art, welche wiederum als Linearkombination aus vollständigen elliptischen Integralen zweiter Art und somit aus Umfängen von Ellipsen hervorgehen. Der Begriff Nomen als elliptische Funktion wurde insbesondere von den Mathematikern Folkmar Bornemann und Jörg Waldvogel verwendet. Das elliptische Nomen findet in der Theorie über elliptische Modulfunktionen Anwendung. Alternativ kann nach Robert Fricke das elliptische Nomen auch als Jacobische Entwicklungsgröße bezeichnet werden. Namensgebend für die von Robert Fricke gegebene Bezeichnung ist der Mathematiker Carl Gustav Jacob Jacobi aus Preußen.

Das elliptische Nomen wird bei der Definition der Jacobischen Thetafunktionen meist als Parameter verwendet. Es spielt daher eine wichtige Rolle für die Jacobischen elliptischen Funktionen, auf denen Jacobis Theorie der elliptischen Funktionen aufbaut.

Definition

Zu einem Parameterwert (elliptischer Modul, reell mit ) sei das zugehörige vollständige elliptische Integral erster Art.

Dem komplementären Modul wird das entsprechende Integral (komplementäres Integral) zugeordnet:

Mithilfe dieser Integrale lässt sich das elliptische Nomen definieren durch .

Verwendet man das (Halb-)Periodenverhältnis

aus der Theorie der elliptischen Funktionen, so lässt sich gleichwertig definieren durch .

Um die Abhängigkeit vom Modul hervorzuheben, schreibt man häufig für bzw. für . Manche Autoren verwenden statt des Moduls dessen Quadrat .

Mithilfe der weiter unten angegebenen Potenzreihe kann die Definition des Nomens auf alle komplexen Zahlen mit ausgedehnt werden.

Kurvendiskussion

Im Reellen ist die Funktion im Intervall definiert. Die Funktionswerte liegen im Intervall . Es handelt sich um eine gerade Funktion, d. h. es gilt ; der Graph der Funktion ist also achsensymmetrisch bezüglich der Ordinatenachse. Für ist die Funktion streng monoton abnehmend, für streng monoton zunehmend. Der Graph der Funktion ist im ganzen Definitionsbereich linksgekrümmt. Im Ursprung ist die Steigung gleich null (Tiefpunkt); die Krümmung in diesem Punkt hat den Wert .

Reihenentwicklungen

Reihe für das elliptische Nomen

Die Maclaurinsche Reihe von hat ausschließlich gerade Exponenten und positive rationale Koeffizienten:

Die Zähler der Koeffizienten sind durch die OEIS-Zahlenfolge A002639 bestimmt, die Nenner durch die Folge A119349.

Die ersten Glieder dieser Reihe wurden 1885 von Hermann Amandus Schwarz angegeben. Der Konvergenzradius der Reihe ist 1.

Die Reihe lässt sich in der Form

schreiben. Die hier auftretenden (natürlichen) Zahlen bilden die OEIS-Zahlenfolge A005797 und werden hier als Kotěšovec-Zahlen bezeichnet (nach dem tschechischen Mathematiker Václav Kotěšovec). Kotěšovec (geboren im Jahre 1956), der auch als Feenschachkomponist bekannt ist, erforschte die Zahlenfolge und tabellierte sie (unter anderem).

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Kt(n) 1 8 84 992 12514 164688 2232200 30920128 435506703 6215660600

1. Berechnungsmethode

Die Kotěšovec-Zahlen lassen sich mithilfe von Zentralbinomialkoeffizienten berechnen. Diese sind definiert durch

Des Weiteren wird eine Hilfsfolge verwendet, die durch

definiert ist. Die Folge (OEIS-Folge A036917) ist eine Abwandlung der Apery-Folge, welche von den Mathematikern Sun Zhi-Hong und Reinhard Zumkeller untersucht wurde und mit dem vollständigen elliptischen Integral 1. Art in Verbindung steht: . Die Berechnung der Kotěšovec-Zahlen erfolgt nun durch die Rekursionsformel

Als Beispiel sollen aus dem Startwert mithilfe der Rekursionsformel die Folgenglieder bis berechnet werden.

Tabelle von Zwischenergebnissen:

1 2 3 4 5 6 ZA(n) 1 8 88 1088 14296 19500816ZA(n-1)-ZA(n)840320311233728 Kt(n) 1 8 84 992 12514 164688

Die Faktoren kommen aus den beiden letzten Zeilen der Tabelle.

Für geradzahlige Argumente gibt es eine Rekursionsformel, die ohne Hilfsfolge auskommt:

2. Berechnungsmethode

Die Kotěšovec-Zahlen lassen sich, ausgehend vom Startwert , mithilfe der folgenden Gleichungen rekursiv berechnen:

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Bei der Ausführung des Algorithmus wendet man diese Beziehungen nacheinander für an. Die obere der beiden Gleichungen lässt sich nach auflösen, ist also für gerade Argumente geeignet. Anschließend kann man die untere Gleichung nach auflösen (ungerades Argument).

Die folgende Tabelle zeigt die Berechnung der Kotěšovec-Zahlen bis .

{| class="wikitable" | style="background: #FFFFA0;" |

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3. Berechnungsmethode

Weiter unten ist eine Potenzreihe für angegeben. Die in diesem Zusammenhang eingeführte Zahlenfolge kann ebenfalls zur Berechnung der „Kotěšovec-Zahlen“ verwendet werden:

Reihe für den Logarithmus des elliptischen Nomens

Der Mathematiker Adolf Kneser gab für den Logarithmus des Nomens, also für , die folgende Reihenentwicklung an:

Die Potenzreihe auf der rechten Seite konvergiert für . (Allerdings ist für weder noch definiert.)

Die Reihe kann in der Form

geschrieben werden. Die hier vorkommenden Zahlen sind natürliche Zahlen und bilden die OEIS-Folge A227503.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Kn(n) 1 13 184 2701 40456 613720 9391936 144644749 2238445480 34772271208

Mithilfe von Binomialkoeffizienten lassen sich die Folgenglieder rekursiv berechnen:

Die oberhalb des Summensymbols verwendete Gaußklammer drückt aus, dass der Wert von , falls er nicht ganzzahlig ist, auf die nächstkleinere ganze Zahl abgerundet werden muss.

Beispiele

Reihe für die vierte Wurzel des elliptischen Nomens

Der schlesisch-deutsche Mathematiker Hermann Amandus Schwarz schrieb in seinem Werk Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Functionen (1885, nach Vorlesungen von Karl Weierstraß) den Anfang einer Reihenentwicklung für die vierte Wurzel des elliptischen Nomens nieder:

Die Reihe kann in der Form

geschrieben werden. Die im hier im Zähler des Bruches auftretenden Zahlen sind natürlich und bilden die OEIS-Zahlenfolge A002103.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Sc(n) 1 2 15 150 1707 20910 268616 3567400 48555069 673458874

Die folgende Formel ermöglicht die rekursive Berechnung der „Schwarz-Zahlen“ unter Verwendung der „Kneserschen Zahlen“ . Der Startwert ist .

Beispiele

Reihe für die Quadratwurzel des elliptischen Nomens

Aus der Potenzreihe für erhält man durch Multiplikation mit sich selbst eine Potenzreihe für .

Die (natürlichen) Zahlen in dieser Formel bilden die OEIS-Folge A274344.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Sc*(n) 1 4 34 360 4239 53148 694582 9348664 128625067 1800131564

Der Zusammenhang mit den zuvor definierten „Schwarzschen Zahlen“ ist gegeben durch .

Spezielle Funktionswerte

Die elliptische Lambda-Stern-Funktion hat die Eigenschaft , wobei das vollständige elliptische Integral erster Art und das zugehörige komplementäre Integral bezeichnet. Aus dieser Beziehung lassen sich in speziellen Fällen exakte Werte für das elliptische Nomen ermitteln.

Beispielsweise ergibt sich aus (lemniskatischer Fall) der Funktionswert .

Aus erhält man entsprechend den Wert .

Elementar parametrisierte Potenzierungsgesetze Herleitung des Quadrierungsgesetzes Das Gesetz für das Quadrat des elliptischen Nomens beinhaltet die Bildung des Landenschen Tochtermoduls:

Der Landensche Tochtermodul ist zugleich das tangentielle Gegenstück des pythagoräischen Gegenstücks des Muttermoduls.

Diese Formel resultiert als Kombination aus folgenden Gleichungen:

Der Differentialquotient dieser Gleichung bezüglich bestätigt die Richtigkeit dieser Formel. Denn auf beiden Seiten entsteht die gleiche Ableitungsfunktion und beide Seiten verlaufen bezüglich durch den Koordinatenursprung.

Daraus folgt direkt:

Durch Umsubstituierung entsteht dieser Ausdruck:

Die Kombination dieser beiden Formeln ergibt folgende Quotientengleichung:

Auf beiden Seiten dieser Gleichung stehen Periodenverhältnisse.

Denn auf beiden Seiten ist der Modul im Zähler pythagoräisch komplementär zum Modul im Nenner.

Das elliptische Nomen ist als Exponentialfunktion des negativen Kreiszahlfachen des reellen Periodenverhältnisses definiert.

Und das reelle Periodenverhältnis ist als Quotient vom K-Integral des pythagoräischen Komplementärmoduls dividiert durch das K-Integral des betroffenen Moduls selbst definiert.

Daraus folgt dann:

QUOD ERAT DEMONSTRANDUM!

Beispiele für das Quadrierungsgesetz

Für diese Formel sollen im nun Folgenden zwei Beispiele ausgeführt werden:

Trigonometrisch dargestelltes Beispiel:

Hyperbolisch dargestelltes Beispiel:

Herleitung des Kubierungsgesetzes Diese parametrisierte Formel für den Kubus des elliptischen Nomens ist für alle Werte −1 < u < 1 gültig.

Diese Formel resultiert als Kombination aus folgenden Gleichungen:

Der Differentialquotient dieser Gleichung bezüglich bestätigt die Richtigkeit dieser Formel. Denn auf beiden Seiten entsteht die gleiche Ableitungsfunktion und beide Seiten verlaufen bezüglich durch den Koordinatenursprung.

Daraus folgt direkt:

Durch Umsubstituierung entsteht dieser Ausdruck:

Die Kombination dieser beiden Formeln ergibt folgende Quotientengleichung:

Auf beiden Seiten dieser Gleichung stehen Periodenverhältnisse.

Denn auf beiden Seiten ist der Modul im Zähler pythagoräisch komplementär zum Modul im Nenner.

Das elliptische Nomen ist als Exponentialfunktion des negativen Kreiszahlfachen des reellen Periodenverhältnisses definiert.

Und das reelle Periodenverhältnis ist als Quotient vom K-Integral des pythagoräischen Komplementärmoduls dividiert durch das K-Integral des betroffenen Moduls selbst definiert.

Daraus folgt dann:

Quod erat demonstrandum!

Beispiel für das Kubierungsgesetz Alternativ hierzu kann diese Formel aufgestellt werden:

Die nun gezeigte Formel dient zur vereinfachten Rechnung, weil hier für die Ermittlung des betroffenen Wertes ganz einfach der gegebene elliptische Modul herangezogen werden kann, dieser einer Tangensverdopplung anvertraut werden kann und dann aus der Tangensverdopplung nur mehr nur die Kubikwurzel gezogen werden muss, um so direkt den Parametrisierungswert zu bekommen.

Hierfür soll das Beispiel behandelt werden:

Elliptisch dargestellte Potenzierungsgesetze Reduzierte Hermitesche elliptische Funktionen Alle Potenzen mit dem Nomen einer positiven algebraischen Zahl als Basis und einer positiven rationalen Zahl als Exponent ergeben erneut Nomina von positiven algebraischen Zahlen:

Denn akkurat basiert die Nomentransformation auf folgendem Grundmuster, welches für alle natürlichen Zahlen gültig ist:

Die reduzierte Hermitesche elliptische Funktion hat diese Definition:

Diese reduzierte Hermitesche Phifunktion ist für ungerade Indizes identisch mit folgenden Sinus-Amplitudinis-Produkten:

Beispielsweise gelten folgende Werte:

Für die effiziente Berechnung der reduzierten Hermiteschen Funktionswerte mögen in Abhängigkeit vom elliptischen Modul beziehungsweise von der Exzentrizität folgende Gleichungen nach der positiven zwischen Null und Eins liegenden Lösung aufgelöst werden:

{| class="wikitable"

Folgende Hermiteschen Phi-Ausdrücke lösen nachfolgende Gleichungen: Stufe Sieben:

löst die Gleichungen

undStufe Elf:

löst die Gleichung

Beispiele für die Potenzierung mit Hermiteschen Funktionen Erstes quintisches Rechenbeispiel:

{| class="wikitable"

Zweites quintisches Rechenbeispiel:

{| class="wikitable"

Septisches Rechenbeispiel:

{| class="wikitable"

Gesetze mit reduzierten Weberschen Funktionen Die reduzierten Weberschen Modulfunktionen und dienen zur schnellen Ermittlung der neuen elliptischen Module potenzierter Nomina. Diese beiden Weberschen Funktionen können so definiert werden: