Konstruierbare Zahl

mini|250px|Die Quadratwurzel aus 2 ist gleich der Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Schenkeln der Länge 1 und ist daher konstruierbar

In der Geometrie und der Algebra heißt eine reelle Zahl konstruierbar, wenn eine Strecke der Länge in endlich vielen Schritten mit Zirkel und Lineal aus einer Strecke der Länge konstruiert werden kann. Das ist genau dann der Fall, wenn es einen geschlossenen Ausdruck für gibt, der nur die Zahlen 0 und 1 sowie die Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Quadratwurzeln verwendet.

Die geometrische Definition konstruierbarer Zahlen motiviert eine entsprechende Definition konstruierbarer Punkte, die wieder sowohl geometrisch als auch algebraisch beschrieben werden kann. Ein Punkt ist konstruierbar, wenn er ausgehend von einer gegebenen Einheitsstrecke mittels Zirkel und Lineal (als Endpunkt einer Strecke oder als Schnittpunkt zweier Geraden oder Kreise) erzeugt werden kann. Alternativ und äquivalent kann man die Punkte und in einem kartesischen Koordinatensystem als Endpunkte der gegebenen Strecke nehmen, ein Punkt ist dann und nur dann konstruierbar, wenn seine kartesischen Koordinaten konstruierbare Zahlen sind.Kazarinoff (2003), Seiten 10, 15 Um sie von Punkten aus anderen Konstruktionsprozessen zu unterscheiden, nennt man konstruierbare Punkte auch „Zirkel-und-Lineal-Punkte“.Kasten, Vogel (2018), Seiten 217, 218, 220, 224Martin (1998), Seiten 31–32

Die Menge der konstruierbaren Zahlen bildet einen Körper, das heißt, die Anwendung jeder der vier grundlegenden arithmetischen Operationen von Elementen dieser Menge ergibt eine weitere konstruierbare Zahl. Dieser Körper ist eine Körpererweiterung der rationalen Zahlen und ist seinerseits im Körper der algebraischen Zahlen enthalten.Courant, Robbins (1996), Abschnitt III.2.2, All constructible numbers are algebraic, Seiten 133–134 Er ist der euklidische Abschluss der rationalen Zahlen, das heißt, die kleinste Körpererweiterung der rationalen Zahlen, die die Quadratwurzel jedes ihrer positiven Elemente enthält.Kazarinoff (2003), Seite 46

Der Beweis der Äquivalenz der algebraischen und geometrischen Definition der konstruierbaren Zahlen überträgt geometrische Fragen über die Konstruktion mit Zirkel und Lineal in die Algebra, das schließt auch einige berühmte Probleme der klassischen griechischen Mathematik ein. Die algebraische Formulierung dieser Fragen führte zu Beweisen, dass ihre Lösungen nicht konstruierbar sind, nachdem die geometrische Formulierung derselben Probleme jahrhundertelangen Lösungsversuchen widerstehen konnte.

Geometrische Definitionen Geometrisch konstruierbare Punkte Es seien und zwei verschiedene Punkte in der euklidischen Ebene und sei die Menge all derjenigen Punkte, die davon ausgehend mit Zirkel und Lineal konstruiert werden können. Die Punkte aus heißen konstruierbare Punkte. Definitionsgemäß sind und Elemente von . Um die übrigen Punkte von präziser beschreiben zu können, treffen wir folgende Definitionen:Kazarinoff (2003), Seite 10 Eine Strecke, deren Endpunkte in liegen, heißt eine konstruierte Strecke, und ein Kreis, dessen Mittelpunkt in liegt und durch einen weiteren Punkt von verläuft (oder anders ausgedrückt, dessen Radius gleich dem Abstand zwischen zwei Punkten aus ist), heißt ein konstruierter Kreis. besteht dann neben und aus:Kazarinoff (2003), Seite 10Martin (1998), Definition 2.1, Seiten 30–31 dem Durchschnitt zweier nicht-paralleler konstruierter Strecken bzw. zweier nicht-paralleler Geraden durch eine konstruierte Strecke, den Punkten des Durchschnitts eines konstruierten Kreises mit einer konstruierten Strecke bzw. einer Geraden durch eine konstruierte Strecke und den Punkten des Durchschnitts zweier verschiedener konstruierter Kreise.

Beispielsweise ist der Mittelpunkt der konstruierten Strecke ein konstruierbarer Punkt. Eine Konstruktion besteht darin, zunächst zwei Kreise mit Radius um und zu schlagen und dann die Strecke zwischen den zwei Schnittpunkten dieser Kreise zu bilden. Der Mittelpunkt der Strecke ist dann der Durchschnitt beider Strecken.Diese Konstruktion findet sich Buch I, Satz 10, von Euklids Elementen

Geometrisch konstruierbare Zahlen Die Ausgangsdaten der geometrischen Formulierung können zur Definition eines kartesischen Koordinatensystems verwendet werden, in dem dem Ursprung mit den Koordinaten und dem Punkt mit den Koordinaten zugewiesen wird. Mittels der Punkte aus kann nun die Verbindung zwischen Geometrie und Algebra geschlagen werden, indem man eine konstruierbare Zahl als Koordinate eines konstruierbaren Punktes definiert.Kazarinoff (2003), Seite 18

Äquivalente Definitionen sind, dass eine konstruierbare Zahl die -Koordinate eines konstruierbaren Punktes istMartin (1998), Definition 2.1, Seiten 30–31 oder die Länge einer konstruierbaren StreckeHerstein (1986), Seite 237. Bei der längenbasierten Definition muss man die als Spezialfall einer konstruierbaren Zahl hinzunehmen. Für eine Richtung dieser Äquivalenz beachte, dass, wenn ein konstruierbarer Punkt die Koordinaten hat, auch der Punkt als Orthogonalprojektion auf die -Achse konstruiert werden kann, und die Strecke vom Ursprung zu diesem Punkt die Länge hat. Ist für die andere Richtung die Länge einer Strecke, so schlage man einen Kreis mit diesem Radius um den Ursprung, um daraus als Schnittpunkt dieses Kreises mit der -Achse zu erhalten. Es folgt aus dieser Äquivalenz, dass jeder Punkt, dessen kartesische Koordinaten konstruierbare Zahlen sind, selbst ein geometrisch konstruierbarer Punkt ist. Sind nämlich und geometrisch konstruierbare Zahlen, erhält man den Punkt als Durchschnitt der Geraden, die durch und und jeweils senkrecht zu den Achsen verlaufen.Moise (1974), Seite 227; Martin (1998) Theorem 2.4, Seite 33

Algebraische Definitionen Algebraisch konstruierbare Zahlen Die algebraisch konstruierbaren reellen Zahlen sind diejenige Teilmenge der reellen Zahlen, die durch Kombinationen ganzer Zahlen mittels der Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Ziehen der Quadratwurzel (einer positiven Zahl) beschrieben werden können. Man kann unter Inkaufnahme längerer Ausdrücke die Verwendung ganzer Zahlen auf 0 und 1 beschränken.Martin (1998), Seiten 36–37 So ist zum Beispiel die Quadratwurzel aus 2 konstruierbar, da sie durch die Formeln oder beschrieben werden kann.

Ganz analog sind die algebraisch konstruierbaren komplexen Zahlen diejenige Teilmenge der komplexen Zahlen, die durch Formeln desselben Typs beschrieben werden können, wobei das Ziehen der Quadratwurzel aber nicht auf positive Zahlen beschränkt ist, sondern auf beliebige komplexe Argumente angewendet werden kann. Alternativ kann man sie als die Menge der komplexen Zahlen beschreiben, deren Real- und Imaginärteil beide konstruierbare reelle Zahlen sind.Roman (1995), Seite 207 Beispielsweise hat die komplexe Zahl die Formeln oder , und ihr Real- und Imaginärteil sind die konstruierbaren Zahlen 0 bzw. 1.

Diese beiden Definitionen konstruierbarer komplexer Zahlen sind äquivalent.Lawrence, Zorzitto (2021), Seite 440 Ist in einer Richtung eine komplexe Zahl, deren Realteil und Imaginärteil beide konstruierbare reelle Zahlen sind, so liefert die Ersetzung ihrer Formeln in eine Formel für als komplexe Zahl. Umgekehrt kann man aus jeder Formel für eine konstruierbare komplexe Zahl Formeln für ihren Real- und Imaginärteil gewinnen, indem man für alle Operationen sukzessive folgende Umformungen vornimmt:

, wobei und .

Algebraisch konstruierbare Punkte Die algebraisch konstruierbaren Punkte können als die Punkte definiert werden, deren reelle kartesische Koordinaten algebraisch konstruierbare reelle Zahlen sind. Alternativ können sie als Punkte der komplexen Ebene definiert werden, die durch algebraisch konstruierbare komplexe Zahlen gegeben sind. Auf Grund der Äquivalenz der beiden Definitionen der algebraisch konstruierbaren Zahlen sind auch diese beiden Definitionen der algebraisch konstruierbaren Punkte äquivalent.

Äquivalenz von algebraischen und geometrischen Definitionen Sind und die von verschiedenen Längen von geometrisch konstruierbaren Strecken, so können mittels elementarer Konstruktionen mit Zirkel und Lineal Strecken der Längen , , und konstruiert werden. Die letzten beiden kann man mit einer Konstruktion auf Basis des Strahlensatzes erhalten. Eine nicht ganz so elementare Konstruktion unter Verwendung des Höhensatzes erlaubt die Konstruktion einer Strecke der Länge . Daraus folgt, dass jede algebraisch konstruierbare Zahl auch geometrisch konstruierbar ist, indem man mit diesen Techniken eine Formel für eine Zahl in eine geometrische Konstruktion übersetzt.Herstein (1986), Seiten 236–237; Moise (1974), Seite 224; Fraleigh (1994), Seiten 426–427Courant, Robbins (1996), Abschnitt III.1.1, Construction of fields and square root extraction, Seiten 120–122

In der anderen Richtung wird eine Menge geometrischer Objekte durch algebraisch konstruierbare reelle Zahlen bestimmt: Punkte durch Koordinaten, Geraden durch Steigung und -Achsenabschnitt, Kreise durch Mittelpunktskoordinaten und Radius. Es ist möglich, wenn auch mühsam, auf Grundlage dieser Werte unter Verwendung der arithmetischen Operationen und des Ziehens der Quadratwurzel Formeln zu entwickeln, indem man die Formeln gemäß der schrittweisen Konstruktion mit Zirkel und Lineal aufbaut. Aus diesen Formeln folgt, dass jede geometrisch konstruierbare Zahl auch algebraisch konstruierbar ist.Martin (1998), Seiten 38–39; Courant Robbins (1996), Seiten 131–132

Algebraische Eigenschaften Die Definition der algebraisch konstruierbaren Zahlen schließt die Summe, die Differenz, das Produkt und das multiplikative Inverse dieser Zahlen ein, das sind dieselben Operationen, die in der abstrakten Algebra einen Körper definieren. Daher bilden die konstruierbaren Zahlen (in jeder der obigen Definitionen) einen Körper. Genauer bilden die konstruierbaren reellen Zahlen einen euklidischen Körper, das heißt einen geordneten Körper, der für jedes seiner positiven Elemente auch eine Quadratwurzel enthält.Martin (1998), Theorem 2.7, Seite 35 Die Untersuchung dieses Körpers und seiner Unterkörper führt zu notwendigen Bedingungen für die Konstruierbarkeit einer Zahl, was benutzt werden kann, um die Nichtkonstruierbarkeit einiger in klassischen geometrischen Konstruktionsproblemen auftauchenden Zahlen nachzuweisen.

Praktischerweise betrachtet man statt des ganzen Körpers der konstruierbaren Zahlen den Unterkörper , der von einer gegebenen konstruierbaren Zahl erzeugt wird, und verwendet algebraische Konstruktionen bzgl. , um diesen weiter zu zerlegen. Wenn eine konstruierbare reelle Zahl ist, kann man mittels der Werte, die in einer beschreibenden Formel vorkommen, eine endliche Folge finden, so dass für jedes eine endliche Körpererweiterung von vom Grad ist.Fraleigh (1994), Seite 429 In einer leicht abweichenden Terminologie ist eine reelle Zahl genau dann konstruierbar, wenn sie im Körper am Ende eines endlichen Körperturms reeller quadratischer Körpererweiterungen liegt, das heißt eines Turms

der mit dem Körper der rationalen Zahlen beginnt und in dem für alle gilt sowie: liegt in .Meyberg (1976), Satz 6.4.1, Seite 26; Roman (1995), Seite 59 Es folgt aus dieser Zerlegung, dass der Grad dieser Körpererweiterung eine Zweierpotenz ist, wobei die Anzahl der quadratischen Erweiterungsschritte ist.Meyberg (1976), Korollar zu Satz 6.4.1, Seite 26; Neumann (1998)

Analog zum reellen Fall ist eine komplexe Zahl genau dann konstruierbar, wenn sie im Körper am Ende eines endlichen Körperturms komplexer quadratischer Erweiterungen liegt.Rotman (2006), Seite 361 Genauer ist konstruierbar, wenn es einen endlichen Körperturm

gibt, wobei in liegt und für jedes gilt. Der Unterschied zwischen diesen beiden Charakterisierungen besteht darin, dass hier die Körper des Körperturms nicht auf reelle Körper beschränkt sind.