Eine *-Algebra ist ein mathematischer Begriff aus der abstrakten Algebra. Eine *-Algebra bezeichnet eine algebraische Struktur, die einen involutiven Antiautomorphismus besitzt. Die Notation des Sterns kommt von der Notation für adjungierte Operatoren.
Definition Eine *-Algebra über ist ein komplexer Vektorraum mit einem -bilinearen, assoziativen Produkt und einer Abbildung , welche ein -antilinearer, involutiver Antiautomorphismus ist. Es gilt also
für und .
Erläuterungen Sei , dann gilt in dieser Notation
für und .
Beispiele
Die komplexen Zahlen bilden mit der durch komplexe Konjugation gegebenen Abbildung eine *-Algebra. Die Algebra der komplexen -Matrizen mit der durch Bildung der transponiert-konjugierten Matrix gegebenen Abbildung ist eine *-Algebra. Die beschränkten Operatoren eines gegebenen Hilbert-Raumes bilden mit der durch Adjunktion von Operatoren gegebenen Abbildung eine *-Algebra . Nach Definition der Adjunktion gilt die Gleichung für alle . Die kompakten Operatoren eines gegebenen Hilbert-Raumes bilden eine *-Unteralgebra . Von-Neumann-Algebren sind *-Unteralgebren von für einen Hilbert-Raum . Die Automorphismen einer abelschen Varietät bilden mit der Rosati-Involution eine *-Algebra. Ist eine lokalkompakte Gruppe, so trägt die L1-Gruppenalgebra eine Involution, die zu einer *-Algebra macht. Für ist definiert durch , wobei die modulare Funktion von ist.
Siehe auch C*-Algebra
Einzelnachweise
Kategorie:Algebra Kategorie:Algebraische Struktur