mini|hochkant=0.7|Punkt und der am Inversionskreis gespiegelte Punkt
Die Kreisspiegelung oder Spiegelung am Kreis ist eine Abbildung der ebenen Geometrie, die das Innere und das Äußere eines gegebenen Kreises miteinander vertauscht.
Die Abbildung ist winkeltreu und zählt zu den speziellen konformen Transformationen.
Eine Kreisspiegelung ist der ebene Fall einer geometrischen Inversion. Eine Inversion im Raum ist die Spiegelung an einer Kugel, kurz Kugelspiegelung, mit ähnlichen Eigenschaften wie die der Kreisspiegelung.
Definition
mini|hochkant=1.3|Bildpunkt ist der am Inversionskreis (rot) gespiegelte Punkt , wenn .
Für die Kreisspiegelung an einem Kreis mit Mittelpunkt und Radius ist der Bildpunkt (siehe Bild) eines Punktes dadurch festgelegt, dass auf einer Strecke bzw. auf einer Halbgeraden liegen und die Bedingung
erfüllen muss. Dabei darf der ursprüngliche Punkt nicht mit dem Mittelpunkt übereinstimmen. Gelegentlich umgeht man dieses Problem, indem man einen neuen Punkt zur Ebene hinzufügt und diesen als Bildpunkt von definiert. Der Bildpunkt dieses neuen Punktes ist der Mittelpunkt des Inversionskreises. Dieser wird auch Inversionszentrum und der Radius Inversionsradius genannt, was auch im Folgenden geschieht.
Analytische Beschreibung Ist in der xy-Ebene das Inversionszentrum bei , so lautet der Bildpunkt des Punktes mit Koordinaten :
In ebenen Polarkoordinaten besitzt eine Kreisspiegelung eine besonders einfache Darstellung: . Die Spiegelung am Einheitskreis ist dann
und rechtfertigt die Bezeichnung Inversion.
In der Funktionentheorie behandelt man die Inversionen und die von ihnen erzeugten Kreisverwandtschaften am besten in der komplexen („Gaußschen“) Zahlenebene. Eine Inversion am Einheitskreis wird dabei durch die Abbildung beschrieben. Darin bezeichnet eine komplexe Zahl und die zugehörige konjugiert komplexe Zahl.
Eigenschaften Die Abbildung vertauscht Inneres und Äußeres des Inversionskreises; die Punkte auf seinem Umfang sind Fixpunkte. Wendet man die Inversion zweimal an, so erhält man wieder die Ausgangssituation, die Inversion ist also eine Involution. Die Inversion ist eine konforme Abbildung, d. h., sie ist winkeltreu. Insbesondere werden Objekte, die einander berühren, auch wieder auf solche abgebildet. Die Inversion kehrt wie die Geradenspiegelung die Orientierung um. Die Verknüpfung zweier Inversionen um konzentrische Kreise ist eine zentrische Streckung und behält die Orientierung. Im Gegensatz zur Punkt-, Achsen- oder Ebenenspiegelung ist die Inversion keine Kongruenzabbildung. Geraden, die nicht durch den Mittelpunkt des Inversionskreises verlaufen, werden auf Kreise abgebildet, die durch den Mittelpunkt gehen. Geraden, die durch den Mittelpunkt des Inversionskreises verlaufen, werden auf sich selbst abgebildet. Kreise, die durch den Mittelpunkt des Inversionskreises verlaufen, werden auf Geraden abgebildet, die nicht durch den Mittelpunkt gehen. Kreise, die nicht durch den Mittelpunkt des Inversionskreises verlaufen, werden wieder auf solche Kreise abgebildet. Allerdings wird der Mittelpunkt des ursprünglichen Kreises durch die Inversion nicht auf den Mittelpunkt des Bildkreises abgebildet. Kreise, die den Inversionskreis rechtwinklig schneiden, werden auf sich selbst abgebildet. Hat ein Punkt den doppelten (q-fachen) Abstand vom Inversionszentrum wie ein anderer Punkt, dann hat er nach der Spiegelung den halben (1/q-fachen) Abstand vom Inversionszentrum wie der andere Punkt. Wenn ein Punkt ist, der nicht auf dem Inversionskreis liegt, sein Spiegelbild und und die Schnittpunkte der Geraden mit dem Inversionskreis sind, dann bilden eine harmonische Teilung. Wenn das Inversionszentrum, der Inversionsradius, das Spiegelbild des Punktes und das Spiegelbild des Punktes ist, dann sind die Dreiecke und spiegelbildlich ähnlich und einander entsprechende Seiten sind um den Faktor gestreckt. Insbesondere ist
Spezielle Abbildungen In diesem Abschnitt werden die Abbildungen von Punkten, Kreisen und Geraden vorgestellt, und das jeweils in analytischer Beschreibung, Konstruktion mit Zirkel und Lineal und Konstruktion mit Zirkel allein. Bei letzteren Konstruktionen gilt nach Mascheroni:
Die gelegentlich in den Abbildungen eingezeichneten gestrichelten bzw. gepunkteten Linien haben keine konstruktive Funktion; sie dienen dort lediglich der Verdeutlichung und dem Beweis.
Kreisspiegelung eines Punktes Analytische Beschreibung 1
Liegt das Inversionszentrum bei und ist der Inversionsradius , dann liegt der Bildpunkt von wie in der #Definition bereits angegeben bei
In der komplexen („Gaußschen“) Zahlenebene hat die Spiegelung am Kreis um das Inversionszentrum mit Inversionsradius die Darstellung:
In ihrer Polarform mit komplexem Argument schreibt sich das ähnlich wie in Polarkoordinaten oben:
Konstruktion mit Zirkel und Lineal 1 Liegt auf dem Inversionskreis, so ist gleich . Für den anderen Fall zeigen im Folgenden sechs Bilder bekannte Konstruktionen mit Zirkel und Lineal oder mit Linealgeometrie die gespiegelten Bildpunkte .
Konstruktion mit einem Kreis und beliebigem Radius mini|hochkant=1|Bild 1: Kreisbogen um mit beliebigem Radius Bei dieser Konstruktion (Bild 1) wird um ein Kreisbogen geschlagen, der den Inversionskreis in zwei Punkten und schneidet. Die Gerade schneidet den Inversionskreis ein zweites Mal in und die Linie von nach schneidet in . Die Gültigkeit dieser Konstruktion folgt aus dem Kreiswinkelsatz und der harmonischen Teilung der Strecke durch die Winkelhalbierende des Dreiecks , die in der folgenden Konstruktion mit Winkelhalbierenden (siehe Bild 3) direkt ausgenutzt wird.
Konstruktion mit der Tangente an den Inversionskreis durch Die Konstruktion mit der Tangente an den Inversionskreis durch ist der Spezialfall (Bild 1), und ein weiterer sinnfälliger Spezialfall ist, wenn Durchmesser des Inversionskreises ist, siehe #Stereografische Projektion und Kreisspiegelung. Falls der Punkt außerhalb des Kreises liegt (Bild 2), zeichnet man mithilfe des Thaleskreises die beiden Kreistangenten durch . Anschließend bringt man die Verbindungsstrecke der beiden Berührpunkte mit der Halbgeraden zum Schnitt. Der Schnittpunkt ist der gesuchte Bildpunkt . Liegt der Punkt dagegen im Kreisinneren, so beginnt man mit der zur Halbgeraden senkrechten Kreissehne durch und konstruiert die beiden Kreistangenten in den Endpunkten dieser Sehne. ergibt sich dann als Schnittpunkt dieser Tangenten. Der Beweis, dass man so den Bildpunkt erhält, folgt direkt aus dem Kathetensatz. mini|hochkant=1|Bild 2: Tangente an den Inversionskreis durch mini|hochkant=1|Bild 3: Winkelhalbierende des Dreiecks
Konstruktion mit Winkelhalbierenden Bei dieser Konstruktion (Bild 3) wird die Gerade durch den Punkt , der auf der Geraden und dem Inversionskreis nahe liegt, und einen beliebigen Punkt auf dem Inversionskreis gezogen. Der Bildpunkt ergibt sich durch Geradenspiegelung von an und Ermittlung des Schnittpunkts der Bildgeraden mit . Der Beweis, dass man so den Bildpunkt erhält, folgt aus der harmonischen Teilung der Strecke durch die Winkelhalbierende des Dreiecks :
was äquivalent ist zu .
Konstruktion mit Kreis durch Bei dieser Konstruktion (Bild 4) wird der Kreis um den Punkt durch mit dem Inversionskreis zum Schnitt gebracht, und der Kreis um den Schnittpunkt durch schneidet ein zweites Mal in , was aus der Ähnlichkeit der Dreiecke und folgt. mini|273px|Bild 4: Konstruktion mit Kreis durch , ähnliche Dreiecke
Konstruktion nur mit Lineal und dem Inversionskreis 1 Liegt der zu spiegelnde Punkt (grün) im Inversionskreis (Bild 5), werden zunächst die Punkte und markiert, in denen die Gerade den Inversionskreis schneidet. Es wird eine beliebige Gerade durch den zu spiegelnden Punkt gezeichnet und mit dem Inversionskreis zum Schnitt gebracht, die Punkte und ergebend. Die Gerade schneidet in und die Gerade schneidet in . Der Bildpunkt (rot) von ist der Schnittpunkt der Verbindung mit der Geraden . Liegt der zu spiegelnde Punkt (grün) hingegen außerhalb des Inversionskreises (Bild 5), wird zunächst die Senkrechte zur Geraden errichtet und ein beliebiger Punkt auf ihr markiert. Die Gerade schneidet den Inversionskreis in , die Gerade schneidet den Inversionskreis in , und liefert im Schnittpunkt mit der Geraden das Spiegelbild (rot). mini|250px|Bild 5: Konstruktion nur mit Lineal und dem Inversionskreis mini|250px|Bild 6: Konstruktion nur mit Lineal, dem Inversionskreis und einer beliebigen Strecke
Konstruktion nur mit Lineal und dem Inversionskreis 2 Hier (Bild 6) wird ein beliebiger Punkt und ein beliebiger Punkt auf der Strecke gewählt, wobei der nahe Schnittpunkt des Inversionskreises mit ist, und ist der ferne Schnittpunkt. Die Gerade schneidet in und schneidet in . Der Bildpunkt ist der Schnittpunkt der Geraden mit der Geraden .
Konstruktion mit Zirkel allein 1 mini|hochkant=1.1|Bild 7: Der Urbildpunkt wird nur mit Hilfe eines Zirkels am Inversionskreis (rot) gespiegelt, es ergibt sich der Bildpunkt
Liegt der Punkt außerhalb des Inversionskreises (Bild 7), so zeichnet man um einen Kreis durch den Mittelpunkt des Inversionskreises. Dieser schneidet den Inversionskreis in zwei Punkten. Zeichne auch um diese Punkte Kreise durch den Mittelpunkt. Diese beiden Kreise schneiden sich nun im Bildpunkt Liegt auf dem Inversionskreis, so ist keine Konstruktion notwendig, es gilt Liegt innerhalb des Inversionskreises, kann z. B. mithilfe einer Einteilung der möglichen Lagen des Punktes in drei Bereiche (Bild 7–9), eine deutliche Vereinfachung des Konstruktionsaufwandes für zwei Bereiche erreicht werden. Hierfür stellt man sich, quasi gedanklich, eine Kreisfläche (hellgrau) vor, deren Radius gleich ist dem halben Radius des Inversionskreises. Für die eigentliche Konstruktion ist die Kreisfläche (hellgrau) nicht erforderlich. Die drei Bereiche der möglichen Lage des Punktes , meist gegeben als Abstand zum Mittelpunkt des Inverskreises, und die dafür möglichen Konstruktionsmethoden sind:
Der Abstand des Punktes zu (Bild 8) ist größer als der halbe Radius des Inversionskreises, d. h. Zuerst wird um den Punkt ein Kreis mit Radius gezogen. Dieser schneidet den Inversionskreis in den Punkten und Die abschließenden Kreise um und mit den Radien bzw. liefern den Bildpunkt Der Abstand des Punktes zu (Bild 9) ist gleich dem halben Radius des Inversionskreises, d. h. Hierzu wird der Radius mit multipliziert um den Bildpunkt zu erhalten. Zuerst wird um den Punkt ein Kreis mit Radius gezogen und anschließend, mittels dreimaligem Abtragen dieses Radius ab dem Punkt , sein Durchmesser bestimmt. Als Nächstes wird der letzte Kreis mit dem Radius um den Punkt gezogen. Abschließend bedarf es noch eines zweimaligen Abtragens dieses Radius, ab den soeben erzeugten Schnittpunkt um den Bildpunkt zu erhalten.
mini|hochkant=1.1|Bild 10: Der Abstand des Punktes zu ist kleiner als die Hälfte, aber größer als ein Achtel des Radius des Inversionskreises (rot): mini|hochkant=1.1|Bild 9: Der Abstand des Punktes zu ist gleich dem halben Radius des Inversionskreises (rot): mini|hochkant=1.1|Bild 8: Der Abstand des Punktes zu ist größer als der halbe Radius des Inversionskreises (rot):
Der Abstand des Punktes zu (Bild 10) ist kleiner als die Hälfte, aber größer als ein Achtel des Radius des Inversionskreises, d. h. Hierzu wird der Radius mit multipliziert um den Bildpunkt zu erhalten. Im nebenstehenden Bild 10, veranschaulicht die kleine Kreisfläche (rosa) ein Achtel des Radius des Inversionskreises. Für die eigentliche Konstruktion ist die Kreisfläche (rosa) nicht erforderlich. Dies gilt ebenso für die eingezeichneten gepunkteten Linien; sie sollen lediglich einen Vergleich mit der Konstruktion Mit Zirkel und Lineal verdeutlichen.