Als gaußsche Maße bezeichnet man die der Normalverteilung zugrundeliegenden Maße. Der Begriff wird insbesondere auf unendlichdimensionale Räume ausgedehnt. Separable Banachräume mit gaußschem Maße und einem darin dicht eingebetteten Hilbertraum nennt man abstrakte Wienerräume, welche von Leonard Gross eingeführt wurden. Jedoch betrachtete schon Norbert Wiener in seiner ursprünglichen Arbeit einen unendlichdimensionalen Raum mit einem gaußschen Maß, allerdings für reelle Funktionen über dem Einheitsintervall, siehe klassischer Wiener-Raum.
Die Theorie der gaußschen Maße liegt zwischen der Stochastik, der Maßtheorie und der Funktionalanalysis. Sie hat unter anderem Anwendungen im Malliavin-Kalkül, der Quantenfeldtheorie, der Finanzmathematik sowie der statistischen Physik.
Gaußsche Maße in endlichdimensionalen Räumen Gaußsche Maße auf ℝ Ein borelsches Wahrscheinlichkeitsmaß auf nennt man gaußsches Maß mit Varianz , falls im Fall für jede Borelmenge gilt . wobei das Lebesgue-Maß bezeichnet.
im Fall es das Dirac-Maß ist.
Man nennt ein gaußsches Maß zentriert, wenn gilt. standard oder kanonisch, wenn und gilt. degeneriert, wenn gilt.
Gaußsche Maße auf ℝd Ein borelsches Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Skalarproduktraum nennt man -dimensionales gaußsches Maß, falls seine charakteristische Funktion von der Form
ist, wobei eine symmetrische, positiv semidefinite Matrix ist.
Wenn positiv definit ist (eine reguläre Matrix), dann hat das Gaußsche Maß eine Radon-Nikodým-Dichte bezüglich dem Lebesgue-Maß und es gilt für jede Borelmenge
Das Standard-Gaußsche-Maß hat die charakteristische Funktion
Äquivalente Formulierung Man nennt ein Borel-Maß ein gaußsches Maß auf , falls für jedes lineare Funktional auf das Bildmaß ein gaußsches Maß auf ist.
Gaußsche Maße in unendlichdimensionalen Räumen In unendlichdimensionalen topologischen Vektorräumen tritt ein fundamentales topologisches Problem auf. Ein topologischer Vektorraum ist genau dann hausdorff und lokalkompakt, wenn er endlichdimensional ist. Dies hat zur Konsequenz, dass auf einem solchen Raum im Allgemeinen kein analoges Lebesgue-Maß existiert. Nach einem Resultat von Gowrisankaran impliziert die Existenz eines nicht-trivialen translationsinvarianten Radon-Maß auf einer hausdorffschen topologischen Gruppe, dass die Gruppe lokalkompakt ist (siehe unendlichdimensionales Lebesgue-Maß für Details). Nicht-trivial bedeutet, dass das Maß nicht allen Mengen die Null zuweist. Durchgehend notieren wir mit den topologischen Dualraum und mit den algebraischen Dualraum.
Der Trick ist es nun, das gaußsche Maße auf über Projektionen auf endlichdimensionale Unterräume zu definieren, das heißt für soll die duale Paarung
für alle ein gaußsche Zufallsvariable sein. Dies entspricht der Aussage, dass für das Bildmaß ein gaußsches Maß auf sein soll.
Da in Banachräumen die Norm häufig nicht ausreicht, um das gaußsche Maß als σ-additives Maß zu definieren, wurde die Konstruktion des abstrakten Wienerraums und das Konzept der Gross-messbaren Norm eingeführt.
Die Maßtheorie in topologischen Vektorräumen beschäftigt sich mit der Maßtheorie in unendlichdimensionalen Räumen.
Gaußsche Maße auf separablen topologischen Vektorräumen Für einen separablen Raum wählt man in der Regel die borelsche σ-Algebra, da man in keine Probleme der Messbarkeit laufen wird.
Sei ein separabler topologischer Vektorraum, sein topologischer Dualraum und ein Borel-Wahrscheinlichkeitsmaß auf . Dann ist ein gaußsches Maß, falls für jedes stetige lineare Funktional die Abbildung eine gaußsche Zufallsvariable ist.
Das heißt also, ist ein gaußsches Maß auf der borelschen σ-Algebra , falls für jedes stetige lineare Funktional das Bildmaß ein gaußsches Maß auf ist, das heißt .
Gaußsche Maße auf lokalkonvexen Räumen Sei ein lokalkonvexer Vektorraum und die zylindrische σ-Algebra, d. h., die σ-Algebra wird durch erzeugt, dann ist ein gaußsches Maß auf , falls für jedes stetige lineare Funktional das Bildmaß ein gaußsches Maß auf ist.
Gaußsche Maße auf allgemeinen linearen Räumen Sei ein Vektorraum, ein Raum von linearen Funktionen, welche die Punkte in separieren und die zylindrische σ-Algebra. Dann ist ein gaußsches Maß, falls für jedes die Abbildung ein gaußsches Maß auf ist. Man kann zeigen, dass diese Definition äquivalent zur Definition auf lokalkonvexen Räumen ist.
Eigenschaften Sei ein lokalkonvexer Raum mit gaußschem Maß und , dann hat die Fourier-Transformation von folgende Form: , wobei ein lineares Funktional ist und eine symmetrische Bilinearform auf , so dass die quadratische Form positiv ist. ist der Kovarianzoperator. Seien und zwei lokalkonvexe Räume mit jeweils einem gaußschen Maß, dann ist das Produkt-Maß ein gaußsches Maß auf . Falls , dann ist auch die Konvolution ein gaußsches Maß.
Radon-Gauß-Maß Sei ein lokalkonvexer Vektorraum mit borelscher σ-Algebra und einem Radon-Maß darauf. Dann ist ein Radon-Gauß-Maß, falls die Restriktion von auf die zylindrische σ-Algebra ein Gauß-Maß ist.
Nicht jedes Gauß-Maß ist auch ein Radon-Maß. Sei der Folgenraum der beschränkten Folgen und sein topologischer Dualraum. David Fremlin und Michel Talagrand konstruierten ein Gauß-Maß auf der zylindrischen σ-Algebra , welches den geschlossenen Bällen mit Radius das Maß zuordnet und deshalb nicht Radon ist.
Der Cameron-Martin-Raum
Zu jedem gaußschen Maß auf einem lokalkonvexen Vektorraum existiert ein Cameron-Martin-Raum , ein besonderer Hilbert-Raum von Richtungen in , in denen verschoben werden kann, so dass ein neues gaußsches Maß entsteht.
Für und betrachten wir die Abbildung
die jedes auf eine quadratintegrierbare Zufallsvariable abbildet. Sei der Raum bestehend aus allen linearen zentrierten gaußschen Zufallsvariablen und deren -Abschluss, das heißt
nennt man gaußscher Raum oder das erste Wiener-Chaos.
Die algebraisch-transponierte Abbildung ist der Operator definiert als
für und . Die Komposition ist der sogenannte Kovarianzoperator und ein reproduzierender Operator. Der Cameron–Martin-Raum wird durch das Bild von auf definiert:
alternative können wir den Raum auch mit dem Kovarianzoperator definieren.
Eine Hilbertraum-Struktur erhält man durch das -Skalarprodukt
und eine Norm auf ist dann
Ein Wahrscheinlichkeitsraum zusammen mit einem gaußschen Raum nennt man im Malliavin-Kalkül einen gaußschen Wahrscheinlichkeitsraum.
Beispiele Klassisches Wiener-Maß Sei der Raum aller stetigen Pfade mit der Eigenschaft und ausgestattet mit der Borel-σ-Algebra . Man kann zeigen, dass versehen mit der Supremumsnorm , das heißt mit der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz, ein separabler Banachraum ist.
Dann existiert darauf ein eindeutiges Maß , welches Wiener-Maß genannt wird, und die -dimensionale brownschen Bewegung erzeugt.
Betrachte die Zeitpunkte und die Borel-Mengen . Definiere die Zylindermenge im Pfadraum durch
Dann lässt sich das Wiener-Maß für jede Zylindermenge angeben als
wobei
mit euklidischer Norm .
Weitere Beispiele Sei für alle ein Standard-gaußsches Maß auf , dann ist das Produktmaß
ein zentriertes gaußsches Maß auf . Sei ein lokalkonvexer Raum mit gaußschem Maß und weiter sei . Wir definieren die Einbettung durch für jedes . Dann ist das Bild von unter ein gaußsches Maß auf .
Literatur
Siehe auch Maßtheorie in topologischen Vektorräumen
Einzelnachweise
Kategorie:Funktionalanalysis Kategorie:Maßtheorie Kategorie:Stochastik