Zu den zahlreichen Resultaten, die der Mathematiker Ludwig Bieberbach (1886–1982) auf dem mathematischen Gebiet der Funktionentheorie beigetragen hat, gehört ein Lehrsatz, der von manchen Autoren als Flächensatz von Bieberbach bezeichnet wird. Dieser Lehrsatz liefert eine mathematische Formel für den Flächeninhalt der Bildmenge einer Kreisscheibe in der komplexen Zahlenebene unter einer schlichten holomorphen Funktion.Rolf Nevanlinna, Veikko Paatero: Einführung in die Funktionentheorie. 1965, S. 208
Formulierung des Satzes Der bieberbachsche Flächensatz lässt sich wie folgt formulieren: Gegeben seien in der komplexen Ebene eine den Nullpunkt enthaltende offene Teilmenge und darin enthalten für eine reelle Zahl die um den Nullpunkt gelegene abgeschlossene Kreisscheibe vom Radius . ist die komplexe Betragsfunktion. Weiter gegeben sei eine schlichte holomorphe Funktion , welche für stets die Taylorreihenentwicklung haben soll.
Dann lässt sich der Flächeninhalt der Bildmenge nach der Formel
berechnen.
Verwandter Flächensatz Mit dem obigen Flächensatz von Bieberbach eng verwandt ist ein weiterer als Flächensatz () bekannter Lehrsatz, welcher Einar Hille zufolge von Thomas Hakon Grönwall im Jahre 1914 gefunden wurde.Einar Hille: Analytic Function Theory. Volume II. 1973, S. 347 Dieser Flächensatz lässt sich folgendermaßen angeben:Heinrich Behnke, Friedrich Sommer: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen. 1965, S. 393In der englischsprachigen Fachliteratur wird von manchen Autoren dieser verwandte Flächensatz auch als Bieberbach’s Area Theorem () genannt. Vgl. Agarwal / Perera / Pinelas: An Introduction to Complex Analysis. 2011, S. 308!Dieser Flächensatz wird in der Theorie der schlichen Funktionen noch weiter verallgemeinert. Vgl. Reiner Kühnau: Der Flächensatz in einer Klasse schlichter Abbildungen. In: Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées. Band 26, 1981, S. 1119–1121! Gegeben sei in der komplexen Ebene das Gebiet , also das Äußere des abgeschlossenen Einheitskreises. Weiter gegeben sei eine schlichte holomorphe Funktion , welche für stets die Darstellung haben und deren Bildmenge eine offene Umgebung von sein soll.
Dann gilt die Ungleichung .
Literatur
Anmerkungen
Einzelnachweise
Kategorie:Funktionentheorie Bieberbach, Flachensatz von