Ein Integration-by-parts-Operator ist ein linearer Operator, der eine Formulierung der partiellen Integration ermöglicht. Der Operator ist vor allem in Räumen von unendlicher Dimension interessant und wird hauptsächlich im Malliavin-Kalkül aus der stochastischen Analysis verwendet.
Integration-by-parts-Operator Sei ein Banach-Raum, sodass und der topologische Dualraum separable Räume sind, und ein Borelmaß auf . Sei eine fixierte Untermenge des Funktionenraums auf . Mit bezeichnen wir die Fréchet-Ableitung von . Ein linearer Operator heißt Integration-by-parts-Operator (kurz IPO) für falls
für jede C1-Funktion und jedes gilt, mit dem beide Seiten existieren.
Beispiele Betrachte einen abstrakten Wiener-Raum mit Gaußschem Maß . Man kann als Unterraum von unter der Inklusion
auffassen. Sei ein Unterraum von . Für definiere
Dann ist ein Integration-by-parts-Operator. Der Beweis folgt aus dem Divergenzsatz für abstrakte Wiener-Räume und kann in Elworthy (1974) gefunden werden.
Einzelnachweise
Kategorie:Funktionalanalysis Kategorie:Maßtheorie Kategorie:Stochastik