Die Rektifizierbare Menge ist ein zentraler Begriff aus der geometrischen Maßtheorie. Eine solche Menge hat stückweise glatte Eigenschaften und teilt somit fast überall Eigenschaften einer differenzierbarer Mannigfaltigkeit. Insbesondere sind diese Mengen von Bedeutung, weil sie einen approximativen Tangentialraum induzieren.
Definition Seien mit . Eine Menge heißt abzählbar -rektifizierbar, falls Folgendes gilt: Es existieren eine Menge mit und eine Familie von Lipschitz-Funktionen, sodass gilt ; dabei bezeichnet das -dimensionale Hausdorff-Maß auf .
Äquivalente Definition Da sich für eine Teilmenge eine Lipschitz-Funktion zu einer Lipschitz-Funktion fortsetzen lässt, wobei für die Lipschitz-Konstanten mit einer Konstante gilt, lässt sich der Begriff auch mit folgenden gleichwertigen Bedingungen formulieren: Es existieren eine Menge mit , eine Familie von Teilmengen des und eine Familie von Lipschitz-Funktionen, sodass gilt .
Approximativer Tangentialraum Sei von Hausdorff-Dimension und -messbar mit für jede kompakte Menge . Dann nennt man einen -dimensionalen linearen Unterraum von den -approximativen Tangentialraum von in genau dann, wenn
für alle . Dieser existiert genau dann für -fast jedes , wenn abzählbar -rektifizierbar ist.
Erläuterungen Es gilt genau dann, wenn .
Einzelnachweise
Kategorie:Maßtheorie