Differentialgeometrie

Die Differentialgeometrie stellt als Teilgebiet der Mathematik die Synthese von Analysis und Geometrie dar.

Historische Entwicklung und aktuelle Anwendungsgebiete

Etliche grundlegende Arbeiten zur Differentialgeometrie stammen von Carl Friedrich Gauß. In dieser Zeit war die Mathematik noch stark mit verschiedenen Anwendungsgebieten verknüpft. Wichtige Ergebnisse lieferte diese Theorie dabei auf den Gebieten der Kartografie, Navigation und Geodäsie. Es entwickelte sich unter anderem die Kartenprojektionslehre, aus der die Begriffe geodätische Linie und gaußsche Krümmung stammen. Zudem stellte sich Gauß bereits die Frage, ob die durch Peilung gemessene Winkelsumme eines sehr großen Dreiecks tatsächlich exakt 180 Grad beträgt, und erweist sich damit als Wegbereiter der modernen Differentialgeometrie.

Die moderne Differentialgeometrie findet vor allem in der allgemeinen Relativitätstheorie und in der Satellitennavigation ihre Anwendung. Sie ermöglicht die Beschreibung von Phänomenen wie astronomische Lichtablenkung oder Periheldrehung des Merkur, die durch Experimente bzw. Beobachtung bestätigt werden können. Koordinatentransformationen entsprechen in der Relativitätstheorie dem Wechsel von Bezugssystemen, aus denen heraus ein Phänomen beobachtet wird. Dies entspricht damit unterschiedlichen Bewegungszuständen der Messapparatur bzw. des Beobachters.

Ein anderes wichtiges Anwendungsgebiet liegt in den Materialwissenschaften in der Theorie der Defekte und der Plastizität.

Die Synthese der Differentialgeometrie und der stochastischen Analysis ist ein modernes Gebiet und wird stochastische Differentialgeometrie genannt.

Teilgebiete Elementare Differentialgeometrie

Die ersten Arbeiten zur Differentialgeometrie beschäftigen sich sowohl mit Kurven als auch mit zweidimensionalen gekrümmten Flächen im dreidimensionalen reellen Anschauungsraum. Geschichtlich gesehen wurde es mit Gauß’ Arbeiten erstmals möglich, die Krümmung beispielsweise der zweidimensionalen Oberfläche einer Kugel auch quantitativ zu erfassen.

Eine weitere Motivation zur Entwicklung der elementaren Differentialgeometrie kam von dem mathematischen Problem der Minimalflächen her. Die in der Natur vorkommenden Seifenhäute lassen sich als Minimalflächen beschreiben. Die Form bzw. mathematische Darstellung dieser Flächen lässt sich dabei mit den Methoden aus der Variationsrechnung entwickeln. Die geometrischen Eigenschaften dieser Flächen wie Krümmung oder Abstände zwischen beliebigen Punkten auf einer Minimalfläche werden dagegen eher mit den Methoden der Differentialgeometrie berechnet.

Differentialtopologie

Die Differentialtopologie ist Grundlage für die meisten modernen Teilgebiete der Differentialgeometrie. Im Gegensatz zur elementaren Differentialgeometrie werden in der Differentialtopologie die geometrischen Objekte intrinsisch beschrieben, das heißt die Definition der Objekte erfolgt ohne Rückgriff auf einen umgebenden Raum. Der zentrale Begriff ist der der differenzierbaren Mannigfaltigkeit: Eine -dimensionale Mannigfaltigkeit ist ein geometrisches Objekt (genauer: ein topologischer Raum), der lokal so aussieht wie der -dimensionale reelle Raum. Das klassische Beispiel, das auch die Terminologie motiviert, ist die Erdoberfläche. In kleinen Ausschnitten lässt sie sich durch Karten beschreiben, das heißt kleine Teile „sehen aus wie“ die Ebene. Jedoch lässt sich die gesamte Erdoberfläche nicht mit der Ebene identifizieren. Außerdem tragen differenzierbare Mannigfaltigkeiten eine Struktur, die es erlaubt, von differenzierbaren Funktionen zu sprechen. Diese differenzierbare Struktur ermöglicht es, in den Karten lokal analytische Methoden anzuwenden. Außerdem kann man die Mannigfaltigkeit global als topologischen Raum untersuchen. So versucht die Differentialtopologie Verbindungen zwischen den lokalen analytischen und den globalen topologischen Eigenschaften herzustellen. Ein Beispiel für einen solchen Zusammenhang ist der Satz von de Rham.

Riemannsche Geometrie

Auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit gibt es keine vordefinierte Längenmessung. Ist sie als zusätzliche Struktur gegeben, spricht man von riemannschen Mannigfaltigkeiten. Diese Mannigfaltigkeiten sind Gegenstand der riemannschen Geometrie, die auch die zugehörigen Begriffe der Krümmung, der kovarianten Ableitung und des Paralleltransports auf diesen Mengen untersucht. Diese Begriffe können aber auch bei „nichtriemannschen“ oder „nicht-pseudoriemannschen“ Räumen definiert werden und setzen nur den allgemeinen differentialgeometrischen Begriff des Zusammenhanges voraus (präziser: allgemeine affine Differentialgeometrie im Gegensatz zu metrischer Differentialgeometrie, siehe unten.)

Semi-riemannsche Differentialgeometrie Wenn anstelle der positiv-definiten Metrik einer riemannschen Mannigfaltigkeit eine nichtdefinite Metrik vorausgesetzt wird (gegeben durch eine nichtdefinite hermitesche bzw. symmetrisch-nichtdefinite nicht-entartete Bilinearform), erhält man eine semi- oder pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit. Ein Spezialfall sind die lorentzschen Mannigfaltigkeiten der allgemeinen Relativitätstheorie.

Finslersche Geometrie Gegenstand der finslerschen Geometrie sind die finslerschen Mannigfaltigkeiten, das heißt Mannigfaltigkeiten, deren Tangentialraum mit einer Banachnorm ausgestattet ist, also einer Abbildung mit folgenden Eigenschaften: , für und ,

ist glatt auf , die vertikale Hesse-Matrix ist positiv definit.

Finslersche Mannigfaltigkeiten spielen auch in der theoretischen Physik als allgemeinere Kandidaten für die strukturelle Beschreibung der Raumzeit eine Rolle.

Symplektische Geometrie

Statt einer symmetrischen nichtentarteten Bilinearform wird eine antisymmetrische nichtentartete Bilinearform ω gegeben. Wenn diese zusätzlich noch geschlossen ist, also dω=0, spricht man von einer symplektischen Mannigfaltigkeit. Weil ein symplektischer Vektorraum notwendigerweise gerade Dimension hat, haben auch symplektische Mannigfaltigkeiten gerade Dimension. Die erste wichtige Erkenntnis ist der Satz von Darboux, nach dem symplektische Mannigfaltigkeiten lokal isomorph zu T*Rn sind. Damit gibt es im Gegensatz zu semi-riemannschen Mannigfaltigkeiten keine (nichttrivialen) lokalen symplektischen Invarianten (außer der Dimension), sondern nur globale symplektische Invarianten. Als Verallgemeinerung zählen auch die Poisson-Mannigfaltigkeiten, die keine Bilinearform, sondern nur einen antisymmetrischen Bivektor haben. Dieser induziert eine Lie-Klammer zwischen den Funktionen. Symplektische Geometrie findet Anwendung in der hamiltonschen Mechanik, einem Teilgebiet der theoretischen Mechanik.

Kontaktgeometrie

Das Analogon zur symplektischen Geometrie für ungeraddimensionale Mannigfaltigkeiten ist Kontaktgeometrie. Eine Kontaktstruktur auf einer -dimensionalen Mannigfaltigkeit ist eine Familie von Hyperebenen des Tangentialbündels, die maximal nicht-integrabel sind. Lokal können diese Hyperebenen als Kern einer 1-Form dargestellt werden, d. h. . Umgekehrt ist eine Kontaktform lokal eindeutig bestimmt durch die Familie , bis auf einen nichtverschwindenden Faktor. Die Nichtintegrabilität bedeutet, dass dα beschränkt auf die Hyperebene nicht-entartet ist. Wenn die Familie global durch eine beschrieben werden kann, dann ist Kontaktform genau dann, wenn eine Volumenform auf ist.

Es gilt ein Theorem analog zum Darboux-Theorem für symplektische Mannigfaltigkeiten, nämlich, dass alle Kontaktmannigfaltigkeiten der Dimension lokal isomorph sind. Damit gibt es auch in der Kontaktgeometrie nur globale Invarianten.

Komplexe Geometrie und Kählergeometrie

Komplexe Geometrie ist das Studium komplexer Mannigfaltigkeiten, das heißt Mannigfaltigkeiten, die lokal wie aussehen und deren Übergangsfunktionen komplex-differenzierbar (holomorph) sind. Wegen der analytischen Eigenschaften komplex-differenzierbarer Funktionen hat man hier häufig Eindeutigkeitseigenschaften der Fortsetzung lokaler Funktionen / Vektorfelder. Deshalb ist man bei globalen Untersuchungen meist auf die Theorie der Garben angewiesen. Eine fast-komplexe Struktur auf einer glatten Mannigfaltigkeit ist eine Abbildung , sodass . Damit sind alle fast-komplexen Mannigfaltigkeiten von gerader Dimension. Der Unterschied zwischen einer fast-komplexen und einer komplexen Mannigfaltigkeit ist die Integrabilität der fast-komplexen Struktur. Diese wird vom Nijenhuis-Tensor gemessen.

Eine hermitesche Mannigfaltigkeit ist eine komplexe Mannigfaltigkeit mit einer hermiteschen Metrik auf dem komplexifizierten reellen Tangentialbündel. Insbesondere muss mit der komplexen Struktur kompatibel sein, namentlich für alle .

Als besonders strukturreich haben sich Hermitesche Mannigfaltigkeiten erwiesen, deren hermitesche Metrik zusätzlich kompatibel mit einer symplektischen Form sind, d. h. mit . In diesem Fall spricht man von einer Kählermannigfaltigkeit.

Schließlich befasst sich die Cauchy-Riemann-Geometrie mit berandeten komplexen Mannigfaltigkeiten.

Theorie der Lie-Gruppen So wie Gruppen auf Mengen basieren, sind Mannigfaltigkeiten die Grundlage der Lie-Gruppen. Die nach Sophus Lie benannten Lie-Gruppen treten an vielen Stellen der Mathematik und Physik als kontinuierliche Symmetriegruppen, beispielsweise als Gruppen von Drehungen des Raumes auf. Das Studium des Transformationsverhaltens von Funktionen unter Symmetrien führt zur Darstellungstheorie der Lie-Gruppen.

Globale Analysis

Die globale Analysis ist ebenfalls ein Teilgebiet der Differentialgeometrie, das mit der Topologie eng verbunden ist. Manchmal nennt man das Teilgebiet auch Analysis auf Mannigfaltigkeiten. In diesem mathematischen Forschungsgebiet werden gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten untersucht. So finden in dieser Theorie lokale Methoden aus der Funktionalanalysis, der mikrolokalen Analysis und der Theorie der partiellen Differentialgleichung und globale Methoden aus der Geometrie und Topologie Anwendung. Da dieses mathematische Teilgebiet im Vergleich zu den anderen Teilgebieten der Differentialgeometrie sehr viele Methoden der Analysis verwendet, wird es teilweise auch als Teilgebiet der Analysis verstanden.

Schon die ersten Arbeiten über Differentialgleichungen enthielten Aspekte der globalen Analysis. So sind die Studien von George David Birkhoff im Bereich der dynamischen Systeme und die Theorie der Geodäten von Harold Calvin Marston Morse frühe Beispiele für Methoden der globalen Analysis. Zentrale Resultate dieses mathematischen Teilgebiets sind die Arbeiten von Michael Francis Atiyah, Isadore M. Singer und Raoul Bott.Michael F. Atiyah, Raoul Bott: A Lefschetz fixed point formula for elliptic differential operators. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Band 72, Nr. 2, 1966, S. 245–250, .Richard S. Palais: Seminar on the Atiyah-Singer index theorem (= Annals of Mathematics Studies. 57, ). Princeton University Press, Princeton NJ 1965. Besonders zu erwähnen sind hier der Atiyah-Singer-Indexsatz und der Atiyah-Bott-Fixpunktsatz, welcher eine Verallgemeinerung des Lefschetz’schen Fixpunktsatzes aus der Topologie ist.Stephen Smale: What is Global Analysis? In: The American Mathematical Monthly. Band 76, Nr. 1, 1969, S. 4–9, .

Methoden Koordinatentransformationen

Koordinatentransformationen sind ein wichtiges Werkzeug der Differentialgeometrie, um die Anpassung einer Problemstellung an geometrische Objekte zu ermöglichen. Sollen beispielsweise Abstände auf einer Kugeloberfläche untersucht werden, so werden meist Kugelkoordinaten verwendet. Betrachtet man euklidische Abstände im Raum, so verwendet man dagegen eher kartesische Koordinaten. Mathematisch gesehen ist zu beachten, dass Koordinatentransformationen stets bijektive, beliebig oft stetig differenzierbare Abbildungen sind. Es existiert also immer auch die Inverse zu der betrachteten Koordinatentransformation.