Die Multivariate Gammafunktion ist die Verallgemeinerung der Gammafunktion. Sie findet Anwendung in der Theorie der Zufallsmatrizen und der multivariaten Statistik, da sie unter anderem in der Wishart-Verteilung und der matrixvariaten Beta-Verteilung auftaucht. Sie wird als notiert.
Definition Sei der Raum der symmetrischen, positiv definiten reellen -Matrizen. Die multivariate Gammafunktion ist definiert als die Funktion
für ; hierin ist bezüglich aller nichtunteren Dreieckseinträge (d. h. oberer Dreieckseinträge samt Hauptdiagonaleinträgen) des Argumentes zu integrieren, da .
Eigenschaften Für Berechnungen eignet sich folgender Satz:
Sei , dann gilt
Beweis-Idee: Teile , wobei eine untere Dreiecksmatrix ist. Nutze den Transformationssatz mit der Funktionaldeterminante .
Rekursion:
Somit:
Verallgemeinerungen Die verallgemeinerte multivariate Gammafunktion ist definiert als
mit und .
Ableitungen Die multivariate Digamma-Funktion:
und die Verallgemeinerung als multivariate Polygammafunktion:
Quellen
Kategorie:Analytische Funktion Kategorie:Multivariate Statistik Kategorie:Stochastik