Die Variation der Konstanten ist ein Verfahren aus der Theorie linearer gewöhnlicher Differentialgleichungen, mit dem eine spezielle Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung erster Ordnung bestimmt werden kann. Es besteht darin, dass die Integrationskonstante , die in der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung vorkommt, durch eine Funktion ersetzt wird und dann durch passende Wahl von eine Lösung der inhomogenen Gleichung gewonnen wird.
Das Verfahren lässt sich auch auf Systeme linearer Differentialgleichungen sowie auf lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung übertragen. Voraussetzung für das Verfahren ist eine vollständige Lösung (Fundamentalsystem) der zugehörigen homogenen Differentialgleichung.
Leonhard Euler benutzte einen Vorläufer dieser Methode bereits 1748 im Zusammenhang mit astronomischen Problemen.Forest Ray Moulton: An Introduction to Celestial Mechanics, 2nd ed. (first published by the Macmillan Company in 1914; reprinted in 1970 by Dover Publications, Inc., Mineola, New York), page 431Leonhard Euler: Recherches sur la question des inégalités du mouvement de Saturne et de Jupiter, sujet proposé pour le prix de l'année 1748 par l’Académie Royale des Sciences de Paris, France: G. Martin, J. B. Coignard, & H. L. Guerin, 1749, online Bei: Google.com In seiner heutigen Form wurde das Verfahren von Joseph-Louis Lagrange entwickelt.
Inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung Gesucht sind die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung erster Ordnung , wobei und stetige Funktionen auf einem Intervall sind.
Ausgangspunkt des Verfahrens ist die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung , welche gegeben ist durch mit einer Stammfunktion von und .
Zur Lösung der inhomogenen Differentialgleichung wird nun die Integrationskonstante der allgemeinen Lösung durch eine differenzierbare Ansatzfunktion ersetzt (Variation der Konstanten): . Die Ableitung dieser Ansatzfunktion ist . Also löst die inhomogene Differentialgleichung
genau dann, wenn die Beziehung
gilt. Beispielsweise ist für ein beliebiges
eine solche Funktion und somit
die spezielle Lösung mit . Also ist
die Menge aller Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung .
Beispiel Gelöst werden soll die inhomogene Differentialgleichung
Die zugehörige homogene Differentialgleichung
hat die allgemeine Lösung
Für die Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ersetzt man die Konstante durch eine noch zu bestimmende Funktion und erhält die Ansatzfunktion
Ableiten mit der Produktregel liefert . Also löst die inhomogene Differentialgleichung genau dann, wenn gilt:
Eine Funktion, welche diese Gleichung erfüllt, ist . Somit lautet eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung . Die allgemeine Lösung erhält man durch die Berücksichtigung aller Stammfunktionen von : .
Inhomogene lineare Differentialgleichungssysteme erster Ordnung Das obige Verfahren lässt sich auf folgende Weise verallgemeinern:
Formulierung Seien und stetige Funktionen und eine Fundamentalmatrix des homogenen Problems sowie diejenige Matrix, die aus entsteht, indem man die -te Spalte durch ersetzt. Dann ist
mit
die Lösung des inhomogenen Anfangswertproblems und .
Beweis Setze
Es ist , und wegen sieht man durch Differenzieren, dass die Differentialgleichung erfüllt. Nun löst
für festes das lineare Gleichungssystem
Nach der cramerschen Regel ist somit
Also gilt
Spezialfall: Resonanzfall Falls die Inhomogenität selber Lösung des homogenen Problems ist, d. h. , so bezeichnet man dies als Resonanzfall. In diesem Fall ist
die Lösung des inhomogenen Anfangswertproblems und .
Inhomogene lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung Das Lösen einer Differentialgleichung höherer Ordnung ist äquivalent zum Lösen eines geeigneten Differentialgleichungssystems erster Ordnung. Auf diese Weise kann man obiges Verfahren nutzen, um eine spezielle Lösung für eine Differentialgleichung höherer Ordnung zu konstruieren.Differentialgleichungen n-ter Ordnung. In: Otto Forster: Analysis II. Vieweg Verlag, 1977, ISBN 3-499-27031-5, Kapitel II, §12.
Formulierung Seien stetige Funktionen und eine Fundamentalmatrix des homogenen Problems , deren erste Zeile lautet, sowie diejenige Matrix, die aus entsteht, indem man die -te Spalte durch ersetzt. Dann ist
mit
die Lösung des inhomogenen Anfangswertproblems und .
Beweis Man betrachte zunächst das hierzu korrespondierende Differentialgleichungssystem erster Ordnung, bestehend aus Gleichungen mit Es gilt: löst die skalare Gleichung -ter Ordnung genau dann, wenn Lösung obigen Systems erster Ordnung ist. Per definitionem ist eine Fundamentalmatrix für dieses System erster Ordnung. Darauf wende man schließlich das oben bewiesene Verfahren der Variation der Konstanten an.
Alternative: Grundlösungsverfahren Im Fall konstanter Koeffizienten ist es gelegentlich von Vorteil, das Grundlösungsverfahren zur Konstruktion einer speziellen Lösung zu verwenden: Ist diejenige homogene Lösung von , welche
erfüllt, dann ist
diejenige spezielle Lösung von mit .
Beweis Durch Differenzieren überprüft man
und
Es ergibt sich
Einzelnachweise
Kategorie:Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen