Gromovs Satz über Betti-Zahlen

In der Mathematik ist Gromovs Satz über Betti-Zahlen ein Lehrsatz der globalen riemannschen Geometrie von Michail Leonidowitsch Gromow.

Satz

Sei eine -dimensionale vollständige riemannsche Mannigfaltigkeit nichtnegativer Schnittkrümmung. Dann gilt für die Betti-Zahlen (mit Koeffizienten in einem beliebigen Körper ): . (Gromovs ursprüngliche Abschätzung war doppelt-exponentiellM. Gromov, Curvature, diameter and Betti numbers, Comment. Math. Helv. 56 (1981), no. 2, 179–195. (online), die obige Verbesserung geht auf AbreschU. Abresch, Lower curvature bounds, Toponogov’s theorem, and bounded topology. II. Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 20 (1987), no. 3, 475–502. zurück. Die vermutete optimale rechte Seite ist .)

Allgemeiner beweist Gromov, dass für eine -dimensionale geschlossene riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung und Durchmesser die Ungleichung

für eine Konstante gilt.

Weblinks

Kapitel 2 in Wilking: Nonnegatively and positively curved manifolds Weiss: Curvature and finite domination

Einzelnachweise

Kategorie:Satz (Riemannsche Geometrie)