Eine Differenzengleichung ist eine numerisch lösbare rekursive Berechnungsvorschrift für eine diskret definierte Folge von nummerierten Folgeelementen bzw. Stützstellen im Abstand eines meist konstanten Intervalls oder bei zeitabhängigen Systemen .

Differenzengleichungen werden zur numerischen Berechnung in vielen wissenschaftlichen Disziplinen – wie Wirtschaft, Medizin, Technik, Elektrotechnik, Regelungstechnik, Kybernetik, Informatik, Akustik und andere – eingesetzt.

Eine Differenzengleichung steht in enger Beziehung zu einer Differentialgleichung. Die Differenzengleichung entsteht z. B., wenn der Differenzialquotient einer zu berechnenden Differenzialgleichung durch einen Differenzenquotienten ausgetauscht wird. Durch diesen Vorgang entsteht automatisch das rekursive Verhalten der Differenzengleichung, bei der sich je nach Ordnung jedes aktuelle Folgeelement sich auf ein oder mehrere zurückliegende Folgeelemente bezieht.

Grundlagen der Differenzengleichungen In der numerischen Mathematik werden zur Behandlung und Lösung von meist gewöhnlichen Differenzialgleichungen die kontinuierlichen Funktionswerte in Abhängigkeit von konstanten Intervallen hintereinander berechnet. Eine Differenzengleichung (auch Rekursionsgleichung genannt) ist eine Gleichung, die anstelle eines Differenzialquotienten einen Differenzenquotienten enthält. Sie ist von n-ter Ordnung, wenn die höchste Ordnung der vorkommenden Differenzen gleich ist.

Die nachfolgende Beschreibung des Artikels bezieht sich auf das Einschrittverfahren zur Lösung von gewöhnlichen Differenzialgleichungen 1. und 2. Ordnung und den Differenzialgleichungen dynamischer Systeme mit den Ein- und Ausgangsfolgen in Abhängigkeit von der Zeit.

Zu den bekanntesten einfachsten Einschrittverfahren bei Differenzengleichungen gehört des explizite Eulerverfahren zur numerischen Lösung von Anfangswertproblemen.

siehe auch Explizites Euler-Verfahren

siehe auch Implizites Euler-Verfahren

siehe auch Lineare Differenzengleichung

Folgen Bei einer Differenzengleichung handelt es sich um eine rekursive Folge von nummerierten Elementen, also um eine Aufzählung von Zahlen. Rekursiv bedeutet in der Mathematik: jedes Folgeelement bezieht sich bei einer Differenzengleichung 1. Ordnung auf das zurückliegende Folgeelement. Eine Differenzengleichungen höherer Ordnung verknüpft die Werte der Ausgangsfolgen an zwei, drei oder mehreren zurückliegenden Zeitpunkten: . Je nach Art der Differenzialgleichung und der zugehörigen Differenzengleichung erhalten die Eingangs- und Ausgangsfolgeglieder der Differenzengleichung für die Nummerierung die Indizierung .

Numerische Lösung: Die numerische Lösung einer Differenzengleichung erfolgt rekursiv über viele Berechnungsfolgen und stellt sich meist als eine tabellarisch geordnete Aufstellung von System-Ausgangsfolgen (Stützstellen, Knoten) in Abhängigkeit der Bezugsgröße dar. Bei dynamischen Systemen besteht die Abhängigkeit der Ausgangsgröße von der Eingangsfolge und dem Zeitschritt . Die Eingangsfolge hat keine rekursive Beziehung zu einem zurückliegenden Folgeglied .

Schrittweite : Im Gegensatz zu einem kontinuierlichen Signalverlauf ist bei einem zeitdiskreten Signal die Größe der Signalinformation nur zu bestimmten Zeitpunkten definiert. Die Differenz von 2 benachbarten Zeitpunkten wird als Schrittweite definiert.

Die Anzahl der Folgeglieder ist bei zeitabhängigen Systemen durch den gewünschten Darstellungszeitraum und die Genauigkeit der Approximation an die analytische Funktion durch die gewünschte Schrittweite der Folgeglieder bestimmt. Je kleiner ist, umso größer ist die Genauigkeit der Berechnung.

Die Lösung der Differenzengleichung stellt sich als eine tabellarische Folge mit allen relevanten Größen wie die Folge , zunehmende diskrete Zeit: , Ausgangsfolge , Eingangsfolge dar.

Die Tabellengröße (Zeilen) wird bestimmt durch die Anzahl der Folgeglieder. Es gilt die Beziehung: ist der Darstellungszeitraum, Schrittzeit.

Variablen: Einfache gewöhnliche Differenzialgleichungen haben als abhängige Variable die Größe und als unabhängige Variable die Größe . Bei Differenzialgleichungen von dynamischen Systemen bzw. gewöhnlichen Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten werden die physikalischen Größen als Ausgangsvariable , die Eingangsvariable und die unabhängige Variable definiert. Definitionen der Ein- und Ausgangsfolgen: ist ein nummeriertes Element (Folgeglied) der rekursiven Ausgangsfolge des Systems mit . Jedes rekursive Folgeglied einer Differenzengleichung 1. Ordnung bezieht sich auf ein zurückliegendes Folgeglied . ist ein nummeriertes Element der Eingangsfolge des Systems mit . Die Eingangsfolge ist nicht rekursiv, sie kann z. B. eine normierte Sprungfunktion für alle Eingangsfolgen sein, oder die Ausgangsfolge eines anderen vorgeschalteten dynamischen Systems oder eine Tabelle sein. entspricht dem nächsten beliebig nummerierten Folgeglied nach einem Rechenschritt . entspricht einem zurückliegenden beliebig nummeriertem Folgeglied vor einem Rechenschritt .

Einfache Differenzengleichungen mit einer Ausgangsvariablen in Abhängigkeit von der Zeit Für einfache numerische Berechnungen wie Zinseszins, Bevölkerungswachstum, Flüssigkeit in Behältern entleeren / füllen, liegen keine Differenzialgleichungen vor. Für diese Aufgaben müssen die rekursiven Folgeglieder von einem Anfangswert ausgehend für die unabhängige Variable , der Anzahl der Folgeglieder , der Zeitschrittweite , bestimmt werden. Sie enthält die Wertefolgen einer Variablen zu steigenden oder fallenden Zeitpunkten. Aus jedem zurückliegenden Folgeglied wird das nächste Folgeglied errechnet.

Dabei wird bei den Folgegliedern unterschieden: Bei der arithmetischen Folge wächst oder fällt jedes Folgeglied um einen festen Betrag. (Beispiel: Sparschwein) Bei der exponentiellen Folge wächst oder fällt jedes Folgeglied um einen relativen Anteil. (Beispiel: Zinseszins)

Für einen derartigen Typ Differenzengleichung lässt sich der Wert einer beliebigen Folge direkt algebraisch aus dem Anfangswert berechnen.

Die zugehörige Gleichung als Folge mit dem Verlauf einer Exponentialfunktion mit im Exponenten lautet:

Dabei ist eine Konstante und die Schrittweite.

Sie entspricht auch der Formel zur Berechnung von Zinseszins: Kapital

Der Wachstumsfaktor für eine steigende Funktion einer Folge lautet:

Beispiel einer Differenzengleichung zur numerischen Berechnung des Bevölkerungswachstums mini|Beispiel des Wachstums der Bevölkerung für 50 Jahre in Abhängigkeit von der Geburten- und Sterberate

Gegeben: Stand der Bevölkerung eines Staates zu Beginn: Millionen Konstantes Bevölkerungswachstum (Geburtenrate - Sterberate): pro Jahr Die Schrittweite beträgt Jahr Anfangswert: Millionen am Anfang des ersten Jahres Gesucht: Aufstellung der Differenzengleichung, Entwicklung der Bevölkerungszahl nach 50 Jahren

Differenzengleichung:

ist hier der Wachstumsfaktor pro Folgeglied.

Entwicklung der Folgeglieder durch Differenzengleichungen oder durch Exponentialdarstellung: k Jahr Bevölkerung in Millionen0 0 1 1 2 2 3 3 50 50 Für diese Differenzengleichung kann für jede Folge auch die exponentielle Form benutzt werden:

Die Ergebnisse der Folgegleichungen ergeben Stützstellen mit exponentiellem Wachstum. Anmerkung: Ein wie mit dieser linearen Differenzengleichung berechnetes ungebremstes Wachstum wird es in der Praxis nicht geben, weil andere Einflüsse wie etwa Nahrungsmittelknappheit dagegen wirken.

Differenzenverfahren für die Bildung von Differenzengleichungen über Differenzenquotienten Gewöhnliche lineare Differenzialgleichungen, die z. B. ein dynamisches System 1. Ordnung wie:

beschreiben, können nach dem Differenzenverfahren relativ einfach in eine Differenzengleichung überführt werden. Dies geschieht dadurch, dass die Differenzialquotienten der Differenzialgleichung direkt durch die verschiedenen Formen der Differenzenquotienten ausgetauscht werden. Damit entsteht automatisch die rekursive Differenzengleichung.Autor: Jürgen Dankert; Fachbuchreihe: Numerische Methoden der Mechanik, Einzelfachbuch: „Das Differenzenverfahren“, Springer Vieweg, Berlin, Auszug-Übersicht „Der Grundgedanke des Verfahrens besteht darin, die Differenzialquotienten in Differenzialgleichungen und Randbedingungen durch Differenzenquotienten zu ersetzen.“

Der Vorwärts-Differenzenquotient einer Differenzengleichung mit der Schrittweite lautet:

Für differenzierende Systeme bezieht sich der Differenzenquotient auf das Eingangssignal :

Rückwärts-Differenzenquotient einer Differenzengleichung:

Für differenzierende Systeme bezieht sich der Differenzenquotient auf das Eingangssignal .

Zentraler Differenzenquotient einer Differenzengleichung:

Wird der zentrale Differenzenquotient in eine Differenzialgleichung eingesetzt, handelt es sich nicht um einen arithmetischen Mittelwert zweier Verfahren. Die hohe Genauigkeit der Annäherung an eine analytische Funktion steigt nicht mit fallendem Wert von , sondern mit dem Quadrat des fallenden Wertes von .

Anfangswertproblem Die Lösung einer gewöhnlichen Differenzialgleichung 1. Ordnung ergibt in der Regel eine allgemeine Lösung in Form einer Funktionenschar mit unendlich vielen Lösungen mit ähnlichem Verhalten. Die Lösung eines Anfangswertproblems ist die Lösung der Differentialgleichung unter zusätzlicher Berücksichtigung eines Anfangswertes. Kennt man den Anfangszustand der Differenzialgleichung mit dem Anfangswert der unabhängigen Variablen für , ergibt sich die spezielle Lösung der Differenzialgleichung.

Bei gewöhnlichen Differenzialgleichungen kann durch Integration die Stammfunktion mit der Integrationskonstante C gebildet werden. Stammfunktion und Integrationskonstante müssen für eine exakte Lösung errechnet werden. Andere Methoden zur Lösung des Anfangswertproblems beschreiben eine Funktionenschar multiplikativ mit dem Scharparameter C.Fachbuch: Jürgen Koch / Martin Stämpfle: „Mathematik für das Ingenieurstudium“, Kapitel „Gewöhnliche Differenzialgleichungen“, „Anfangswertproblem“.Fachbuch:Thomas Westermann: Mathematik für Ingenieure, Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch, Kapitel „Gewöhnliche Differenzialgleichungen“, „Anfangswertproblem“.

In vielen Anwendungsfällen findet sich keine geschlossene Lösung der Differenzialgleichung, man ist daher auf numerische Verfahren angewiesen. Der Anfangswert für wird für die Lösung des Anfangswertproblems immer vorgegeben.

Als historisch einfachstes Verfahren zur Herleitung der Differenzengleichungen wird meistens das explizite Euler-Streckenzugverfahren genannt.Prof. Dr. Bastian von Harrach, Goethe-Universität Frankfurt a. M., Skript „Numerik von Differenzialgleichungen“: Anfangswertproblem, Richtungsfeld, Euler-Verfahren (Kapitl 1.2.3, Seite 22), Runge-Kutta-Verfahren, Mehrschritt-Verfahren.

Wird die Ableitung einer gewöhnlichen Differenzialgleichung durch den Vorwärts-Differenzenquotienten ersetzt,

entsteht die explizite Differenzengleichung .

Allgemeine Form der Differenzengleichung 1. O. nach dem Vorwärts-Differenzenquotienten (entspricht: „Euler-Vorwärts“):

Je kleiner die Schrittweite ist, umso geringer sind die Integrationsfehler. Andere Verfahren z. B. das Trapezverfahren von Heun oder das Runge-Kutta-Verfahren ermöglichen eine größere Schrittweite bei gleicher Genauigkeit.

Berechnungsbeispiel für das numerische Lösen einer linearen Differenzialgleichung 1. Ordnung Differenzialgleichung: ergibt nach der Integration:Die Darstellung des im Artikel benutzten Beispiels der Differenzialgleichung und der Gleichung der analytischen Funktion für stammt aus dem Skript und dem gleichnamigen Fachbuch von Thomas Westermann, Uni Karlsruhe, „Mathematik für Ingenieure, Anwendungsorientiertes Lehrbuch“, Kapitel „Numerisches Lösen“, 8. Auflage 2020. Analytische Lösung vorgegeben: . Anfangswert gewählt. Als Schrittweite wird: gewählt.

Gesucht: Differenzengleichung mit Vorwärts-Differenzenquotient, Entwicklung der Folgeglieder.