Das Pochhammer-Symbol ist eine spezielle Funktion, die in der Kombinatorik und in der Theorie der hypergeometrischen Funktionen verwendet wird. Der Name geht auf Leo August Pochhammer zurück.L. Pochhammer: Ueber die Differentialgleichung der allgemeineren hypergeometrischen Reihe mit zwei endlichen singulären Punkten. Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 102, S. 76–159, 1888; insbesondere S. 80–81. Pochhammer benutzt die Bezeichnung für den Binomialkoeffizienten, für die fallende Faktorielle und für die steigende Faktorielle.
Die Verallgemeinerung des Pochhammer-Symbols nennt man verallgemeinertes Pochhammer-Symbol.
Definition Das Pochhammer-Symbol wird über die Gammafunktion definiert:
Aus der Funktionalgleichung der Gammafunktion folgt dann .
Man hat also eine Identität
mit der steigenden Faktoriellen.
Erläuterungen Das Pochhammer-Symbol wird auch als notiert, allerdings notieren manche Autoren insbesondere in der Kombinatorik damit auch die fallende Faktorielle. In dieser Notation definiert man dann zusätzlich
Eigenschaften mini|Funktionsgraphen der ersten vier Pochhammer-Symbole Das Pochhammer-Symbol ist eine meromorphe Funktion. Ist , so kann als Polynom in dargestellt werden. Diese haben eine gemeinsame Nullstelle bei . Zusammenhang zwischen Koeffizienten verschiedener Vorzeichen:
Divisionsregel:
Spezielle Werte:
Weitere Identitäten:
q-Pochhammer-Symbol
Begrenztes q-Pochhammer-Symbol Das Pochhammer-Symbol ist das Analog des Pochhammer-Symbols. Dieses spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der elliptischen Modulfunktionen und in der Kombinatorik bei Analoga klassischer Formeln. Hierbei wird das Analogon natürlicher Zahlen, angeregt durch den Grenzübergang
,
über folgende Formel definiert:
Das Pochhammer-Symbol wird über die formale Potenzreihe in der Variablen definiert:
mit der Zusatzbedingung:
.
Sie werden auch Reihen genannt und als abgekürzt, z. B. .
Der Buchstabe q wird deswegen in den Formeln verwendet, weil er das elliptische Nomen beziehungsweise die Jacobische Entwicklungsgröße darstellt.
Unendliches q-Pochhammer-Symbol Das Pochhammer-Symbol lässt sich auch zu einem unendlichen Produkt erweitern:
Der Spezialfall
wird als Eulersches ProduktEulersches Partitionsprodukt. Im Englischen auch Euler function, doch ist dieser Begriff mehrdeutig. bezeichnet.
Das elliptische Nomen als Funktion stellt den Zusammenhang zu den vollständigen elliptischen Integralen erster Art her:
Partitionszahlenfolge und Pentagonalzahlensatz Das Eulersche Pochhammer-Produkt spielt in der Theorie der Partitionsfunktion eine entscheidende Rolle.
Denn die Maclaurinsche Reihe für den Kehrwert des Eulerschen Produkts trägt die Partitionszahlen als Koeffizienten:
Dabei steht P(n) für die n-te Partitionszahl.
Die Maclaurinsche Reihe für das Eulersche Produkt selbst hat an allen Summanden die Fünfeckszahlen und Kartenhauszahlen als Exponenten:
Dabei steht F(n) für die n-te Fünfeckszahl und K(n) für die n-te Kartenhauszahl:
Diese Tatsache basiert auf dem Pentagonalzahlensatz von Leonhard Euler.
Thetafunktion und Psifunktion Das Eulersche Produkt kann auch mit der Jacobischen Thetafunktion und der Ramanujanschen Psifunktion ausgedrückt werden:
Speziell für positive x-Werte gilt außerdem:
Der Mathematiker Srinivasa Ramanujan entdeckte folgende Beziehung zu den Thetafunktionen:
Sie finden sich in seinem Aufsatz Modular Equations and Approximations to π. Aus den beiden zuletzt genannten Formeln folgt:
Rogers-Ramanujan-Kettenbruch Mit dem Pochhammer-Symbol kann auch die Rogers-Ramanujan-Kettenbruchfunktion R(x) dargestellt werden:
In der ersten Zeile der Gleichungskette werden die Rogers-Ramanujan-Identitäten repräsentiert.
Einzelnachweise
Kategorie:Mathematische Funktion Kategorie:Kombinatorik