Kazhdan-Lusztig-Polynome sind ein Konzept aus der Theorie der Coxeter-Systeme, das (angewandt auf Weyl-Gruppen halbeinfacher Lie-Gruppen) zahlreiche Anwendungen in der Darstellungstheorie hat. Je zwei Elementen aus der Coxeter-Gruppe wird ein Polynom zugeordnet.
Definition Sei ein Coxeter-System mit Längenfunktion und Bruhat-Ordnung , und sei der Ring der Laurent-Polynome. Die Iwahori-Hecke-Algebra ist eine assoziative -Algebra mit Erzeugern und gewissen Relationen. Es gibt auf eine eindeutige Involution mit und für .
Kazhdan und Lusztig bewiesen, dass es zu jedem ein eindeutiges, bzgl. der Involution selbstduales mit
gibt.Soergel, op. cit., Theorem 2.1
Insbesondere kann man Elemente für als Koeffizienten
definieren. Falls nicht erfüllt ist, definiert man .
Kazhdan und Lusztig bewiesen, dass die Polynome sind. Sie werden heute als Kazhdan-Lusztig-Polynome bezeichnet.
Die bilden eine neue Basis der Iwahori-Hecke-Algebra, die als Kazhdan-Lusztig-Basis bezeichnet wird. Die Kazhdan-Lusztig-Polynome beschreiben also die Transformation zwischen den Basen und . Kazhdan und Lusztig gaben eine rekursive Prozedur zur Berechnung der Polynome.
Interpretation durch Schnittkohomologie
Sei nun die Weyl-Gruppe einer halbeinfachen Lie-Gruppe .
Eine Fahnenmannigfaltigkeit zerlegt sich in verschiedene Schubert-Zellen , die durch die Elemente der Weyl-Gruppe indiziert werden.
Für die Schnittkohomologie von Schubert-Zellen gilt . Insbesondere sind die Koeffizienten von nichtnegativ.
Literatur Kapitel 7 in: James Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 29. Cambridge: Cambridge University Press (1992). David Kazhdan, George Lusztig: Representations of Coxeter groups and Hecke algebras. Invent. Math. 53, 165–184 (1979). D. Kazhdan, G. Lusztig: Schubert varieties and Poincaré duality. Geometry of the Laplace operator, Honolulu/Hawaii 1979, Proc. Symp. Pure Math., Vol. 36, 185–203 (1980).
Weblinks Q. Chu: Hecke Algebras and the Kazhdan-Lusztig Polynomials W. Soergel: Kazhdan-Lusztig-Polynome und eine Kombinatorik für Kippmoduln N. Libedinsky: Gentle introduction to Soergel bimodules
Einzelnachweise
Kategorie:Darstellungstheorie von Lie-Gruppen