mini|Hugh L. Montgomery beim Workshop: Analytische Zahlentheorie in Oberwolfach, 2008 Montgomerys Paar-Korrelation-Vermutung ist eine Vermutung der Mathematik, welche eine Aussage über die statistische Verteilung der Nullstellen der riemannschen ζ-Funktion auf der kritischen Gerade macht. Sie beschreibt die Paar-Korrelation der normierten Abstände zwischen den Imaginärteilen der Nullstellen und stellt eine überraschende Verbindung zwischen der analytische Zahlentheorie mit der Theorie der Zufallsmatrizen her und wird daher der stochastischen Zahlentheorie zugerechnet.

Die Vermutung wurde 1973 von Hugh Montgomery aufgestellt. Bei einem Gespräch mit Freeman Dyson stellte sich heraus, dass die von Montgomery gefundene Paar-Korrelationsfunktion mit der Paar-Korrelationsfunktion der Eigenwerte hermitescher Zufallsmatrizen (genauer aus dem gaußschen unitären Ensemble) übereinstimmt. Es handelt sich um den -Kern, der bei Betrachtung der Eigenwerte einer unendlichdimensionaler hermitschen Zufallsmatrix innerhalb der "Bulk"-Region auftaucht (d. h. die Region der Eigenwerte, die sich nicht am Rand des Spektrums befinden). Die Übereinstimmung der Nullstellenstatistik mit der Eigenwertstatistik hermitescher Zufallsmatrizen wird als Indiz dafür angesehen, dass die Nullstellen der riemannschen ζ-Funktion als Spektrum eines selbstadjungierten Operators beschrieben werden können, wie es die Hilbert-Pólya-Vermutung nahelegt.

Montgomerys Paar-Korrelation-Vermutung Unter Annahme der riemannschen Vermutung (RH).

Mit und bezeichne man zwei nicht-triviale Nullstellen der riemannschen ζ-Funktion. bezeichnet das Diracmaß. Die Vermutung lautet:

Formulierung Sei fix, dann gilt mit

wobei mit Vielfachheiten gezählt, das heißt ist definiert als die Mächtigkeit dieser Menge.

Die Notation bedeutet asymptotische Gleichheit, das heißt .

Formulierung mit normierten Nullstellen Sei fix. Seien skalierte Imaginärteile der Nullstellen, i.e. , dann gilt (für die Paare)

Zusammenhang mit dem Sinus-Kern und determinantalen Punktprozessen Der Ausdruck taucht auch in der Theorie der Zufallsmatrizen bei der Beschreibung des Verhaltens der Eigenwerte von hermiteschen Matrizen auf (wie zum Beispiel im GUE), welche einen Punktprozess auf der reellen Achse bilden. Im sogenannten Bulk-Limes (nach geeigneter Skalierung im Inneren des Spektrums) konvergiert dieser Eigenwertprozess in vielen Fällen zu einem Determinantal point process mit Korrelationskern

Ein determinantalter Punktprozess ist dadurch charakterisiert, dass seine -Punkt-Korrelationsfunktionen durch die Determinanten des Kerns gegeben sind

die 2-Punkt-Korrelationsfunktion ist gegeben durch

Da gilt, folgt

und aufgrund der Translationsinvarianz hängt diese Funktion nur vom Abstand ab, sodass man schreiben kann

Dies ist exakt der Ausdruck aus der Montgomeryschen Paar-Korrelations-Vermutung. Dies legt nahe, dass die nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion eine statistische Struktur aufweisen, die eng mit der Eigenwertverteilung hermitescher Operatoren bzw. großer hermitescher Zufallsmatrizen verwandt ist. Asymptotische Skalierung der Nullstellen Der Faktor stammt von der Riemann-von-Mangoldt-Formel für die Anzahl der Nullstellen der Zeta-Funktion

Eine Interpretation des Ausdruckes ist, dass bis zur Höhe die Nullstellen einen asymptotischen Durchschnittsabstand von haben.

Herleitung durch Montgomery Montgomery studierte die Funktion

für wobei und eine Gewichtsfunktion ist, die nur aus rechnerischen Gründen eingeführt wurde.

Durch Anwendung der inversen Fourier-Transformation auf eine Testfunktion kann der Ausdruck umgeformt werden zu

wobei der Faktor wenig beiträgt und ignoriert werden kann.

Montgomerys Theorem Montgomery bewies unter der Annahme der RH, dass für die Funktion gleichmäßig konvergiert

Montgomerys F(α)-Vermutung Montgomery stellte basierend auf zahlentheoretischer Argumentation die F()-Vermutung auf, dass für

Die Vermutung wird auch Starke Paar-Korrelation-Vermutung genannt.

Kombinierte man nun alle Schritte, lässt sich die Paar-Korrelation-Vermutung herleiten.

Montgomerys Theorem hat interessante Konsequenzen für die Nullstellen der Zeta-Funktion. Es lässt sich zeigen, dass mindestens aller kritischen Nullstellen einfach sind

Roger Heath-Brown und Hung M. Bui haben die Grenze mittlerweile auf erhöht.

Wenn Montgomerys F()-Vermutung wahr ist (unter der Annahme der RH), dann sind fast alle kritischen Nullstellen einfach

wobei die Vielfachheiten der Nullstellen bezeichnet. Das heißt, es gibt kritische Nullstellen, die sehr nahe beieinander sind

Evidenz Andrew Odlyzko berechnete numerisch nicht-triviale Nullstellen der riemannsche ζ-Funktion, deren Verteilung sich der Paar-Korrelationsfunktion des gaußschen unitären Ensemble näherte.

Hilbert-Pólya-Vermutung In einem Brief von Andrew Odlyzko an George Pólya fragte er diesen, ob es einen physikalischen Grund gäbe, warum die Riemmanische Vermutung wahr sein sollte. Pólya antwortete ihm, dass ihm in Göttingen in der Zeit zwischen 1912 und 1914 von Edmund Landau dieselbe Frage gestellt worden sei. Er gab diesem damals die Antwort, dass er vermutet, dass die Imaginärteile der Nullstellen der riemannschen ζ-Funktion an der Stelle mit den Eigenwerten eines selbstadjungierten Operators übereinstimmen.

Durch Montgomerys Paar-Korrelation-Vermutung bekam diese Vermutung über die Eigenwerte einer Matrix aus dem gaußschen unitären Ensemble eine solide Basis zu einem möglichen Lösungsansatz der riemannschen Vermutung.

Einzelnachweise

Kategorie:Analytische Zahlentheorie Kategorie:Stochastik Kategorie:Vermutung (Mathematik)