Die elliptische Lambda-Funktion, auch Modulare Lambda-Funktion genannt, ist eine auf der oberen Halbebene definierte holomorphe Funktion. Sie ist eine modulare Funktion für die Kongruenzuntergruppe Γ(2) der Modulgruppe und dient als Hauptmodul der zugehörigen modularen Kurve X(2). Über die Beziehung
verknüpft sie die Theorie der vollständigen elliptischen Integrale mit der Theorie der modularen Funktionen.
Definition der Funktion λ mini|359x359px|Komplexe Ebenendarstellung der elliptischen Lambdafunktion Es sei die obere Halbebene der komplexen Zahlen. Für ist die elliptische Lambda-Funktion definiert durch mit . Die hier vorkommenden Theta-Nullwerte (siehe Jacobische Thetafunktionen) sind gegeben durch
Die Kongruenzuntergruppe Γ(2) ist hierbei folgendermaßen beschaffen:
Ausdruck über die Dedekindsche Etafunktion:
Ausdruck über die Weierstraß-Funktion:
Eigenschaften der Funktion λ Die Funktion verhält sich in der auf folgende Weise erzeugten Gruppe invariant:
Die Erzeuger der modularen Gruppen sind wie folgt beschaffen:
Folglich verhält sich die Gruppe in Bezug auf unharmonisch.
Das Doppelverhältnis weist folgende sechs Werte auf:
Definition der Funktion λ*
Definition als Lösung einer Integralgleichung mini|276x276px|Funktionsgraph für λ(ix) = λ*(x²)², das Quadrat der Lambda-Stern-Funktion Die Elliptische Lambda-Funktion ausgedrückt mit einem Stern oben rechts über dem Lambda liefert den elliptischen Modul beziehungsweise die Exzentrizität auf folgende Weise:
Dabei bezeichnet K das vollständige elliptische Integral erster Art.
Die Funktionen Lambda und Lambda-Stern stehen in folgender Beziehung zueinander:
Definitionen über die Jacobischen Thetafunktionen Primär ist die Funktion so über die Theta-Nullwertfunktionen definiert:
Ebenso kann Lambda-Stern-Funktion über den pythagoräisch komplementären Modul dargestellt werden:
Auch über die Theta-Nicht-Nullwertfunktionen ist die Definition möglich:
Außerdem gelten folgende Ausdrucksweisen:
Definitionen als Summenreihen und Produktreihen Die Lambda-Stern-Werte können mit diesen sehr schnell konvergierenden Definitionsformeln berechnet werden:
Definition mit Integralen Die Jacobische Theta-Nullwertfunktion ϑ₀₀ hat diese Integralidentität:
Die Lambda-Stern-Funktion kann dann auf jenem Definitionsweg dargestellt werden:
Weitere Identitäten zwischen Thetafunktion und Lambdafunktion Für die Thetafunktionen ϑ₁₀ und ϑ₀₀ in reeller Form gelten folgende Formeln:
Mit der Abkürzung agm wird das arithmetisch geometrische Mittel zum Ausdrück gebracht.
Von diesen beiden Thetafunktionen werden im Folgenden einige Theta-Nullwerte aufgelistet.
Anwendungsbeispiele Unendliche Summe der Kehrwerte ungeradstelliger Fibonacci-Zahlen:
Dabei ist die goldene Zahl.
Unendliche Summe der Kehrwerte ungeradstelliger Pell-Zahlen:
Algebraische Beziehungen von Lambda-Stern
Allgemeine Beziehungen Generell ist jeder Lambda-Stern-Wert einer positiven rationalen Zahl eine positive algebraische Zahl:
Folgende Beziehung gilt für alle n ∈ ℕ:
Hierbei ist dn die Jacobische elliptische Funktion Delta Amplitudinis.
Weiterhin gilt für alle Zahlen n ∈ ℕ:
Hierbei ist sn die Jacobische elliptische Funktion Sinus Amplitudinis, während sl der lemniskatische Sinus ist.
Liste exemplarischer Beziehungen Folgende weitere Beziehungen existieren zwischen den Lambda*-Funktionswerten:
Ramanujansche Funktionen Folgende Beziehungen gelten zu den Ramanujanschen Funktionen g und G:
Spezielle Werte
Lambda-Stern-Werte ganzer Zahlen In dieser Liste werden die Lambda-Stern-Werte der ganzen Zahlen 1 bis 10 durch Radikale dargestellt:
Weitere Werte finden sich in der oben genannten Quelle.
Lambda-Stern-Werte von gebrochen rationalen Zahlen In jener Liste sind die Lambda-Stern-Werte von Brüchen aufgelistet. Bei der Berechnung ist die Identität hilfreich.
Ableitung Die Funktion λ*(x) wird auf folgende Weise abgeleitet:
Dies wird im nun Folgenden bewiesen. Für die Ableitung des vollständigen elliptischen Integrals erster Art gilt:
Mit der Quotientenregel kann die Umkehrfunktion zur elliptischen Lambda-Stern-Funktion abgeleitet werden:
Die Legendresche Identität besagt, dass die in den eckigen Klammern stehende Bilanz konstant den Wert π/2 annimmt:
Nach der Umkehrregel ist die Ableitung einer Funktion der Kehrwert der Ableitung ihrer Umkehrfunktion mit der Funktion als innere Variable:
Literatur Chandrasekharan, K. (1985): Elliptic Functions, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 281, Springer-Verlag, pp. 108–121, ISBN 3-540-15295-4, Zbl 0575.33001 Reinhardt, W. P.; Walker, P. L. (2010): „Elliptic Modular Function“, in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248 Rankin, Robert A. (1977): Modular Forms and Functions. Cambridge University Press, ISBN 0-521-21212-X, Zbl 0376.10020 Jonathan Borwein und Peter Borwein: π and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. Wiley, 1998, ISBN 978-0-471-31515-5, Seite 139 (englisch, wiley.com) Milton Abramowitz und Irene Stegun eds. (1972): Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61272-0, Zbl 0543.33001 Nikos Bagis: On the complete solution of the general quintic using the Rogers-Ramanujan continued fraction. Pella, Makedonien, Griechenland, 2015. p. 3, arXiv 1510.00068v1 Folkmar Bornemann, Dirk Laurie, Stan Wagon und Jörg Waldvogel: Vom Lösen numerischer Probleme, Seiten 277 bis 280
Weblinks https://arxiv.org/pdf/2006.12034.pdf https://amsacta.unibo.it/3883/1/JNT3-2013PostUnibo.pdf https://sites.google.com/site/tpiezas/0026 https://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/EllipticThetaPrime4/introductions/JacobiThetas/ShowAll.html
Einzelnachweise
Kategorie:Mathematische Funktion