Die Schwarzschild-Metrik (nach Karl Schwarzschild benannt, auch Schwarzschild-Lösung) bezeichnet, speziell im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie, eine Vakuumlösung der einsteinschen Feldgleichungen, die das Gravitationsfeld einer homogenen, nicht geladenen und nicht rotierenden Kugel beschreibt.
Das vollständige Schwarzschild-Modell besteht aus der äußeren Schwarzschild-Lösung für den Raum außerhalb der Massenverteilung und der inneren Schwarzschild-Lösung, mit der die Feldgleichungen im Inneren der Massenverteilung unter der zusätzlichen Annahme gelöst werden, dass die Masse ein homogenes Fluid ist. Die Lösungen sind so konstruiert, dass sie an der Grenze der Massenverteilung stetig und differenzierbar aneinander anschließen.
Äußere Lösung Die äußere Schwarzschild-Lösung ist die statische Vakuumlösung der Feldgleichungen für den Außenraum einer kugelsymmetrischen Materieverteilung. Sie gilt auch für dynamische Massenverteilungen, sofern sich die Massen nur radial bewegen und die Kugelsymmetrie erhalten bleibt. Sie wurde 1915/16 von dem deutschen Astronomen und Physiker Karl Schwarzschild (unabhängig von Johannes Droste) gefunden und war die erste bekannte exakte Lösung der einsteinschen Feldgleichungen.Christian Heinicke, Friedrich W. Hehl: "Schwarzschild and Kerr Solutions of Einstein's Field Equation - an introduction", Seite 16 - "2.1 Historical remarks", in:
Linienelement Die einsteinschen Feldgleichungen setzen die Geometrie des Raumes, beschrieben durch den metrischen Tensor , über den Proportionalitätsfaktor der einsteinschen Gravitationskonstante in Beziehung zum Energie-Impuls-Tensor.
Unter den in diesem Fall geltenden Randbedingungen sind die Feldgleichungen elementar integrierbar. Mit der Zeitkoordinate und den Kugelkoordinaten sowie der Ersetzung des Schwarzschild-Radius durch ergibt sich als Linienelement:Sean Carroll: Lecture Notes on General Relativity. Kapitel 7, Gleichung 7.29.Sean Carroll: Lecture Notes on General Relativity (Arxiv.org) Kapitel 7, Gleichung 7.29.
Diese Koordinaten bezeichnet man als Schwarzschild-Koordinaten. Die Vorzeichen entsprechen der in der Relativitätstheorie meist verwendeten Raum-Zeit-Signatur .
In einem natürlichen Einheitensystem mit wird das Linienelement zu
.
Im Unterschied zu Kugelkoordinaten in einem euklidischen Raum tragen hier die Koordinatendifferenziale und Vorfaktoren, die von abhängig sind. Sie sind die Komponenten des zweistufigen metrischen Tensors in Schwarzschild-Koordinaten. entspricht bis auf konstante Faktoren der gravitierenden Zentralmasse.
Die physikalische Distanz zwischen und beträgt dann nicht , sondern hat den größeren Wert
Für Abstände , die groß gegenüber dem Schwarzschild-Radius sind, lässt sich dies um entwickeln und ergibt:
Als Folge dessen hat eine Kugelschale gegebenen Umfangs in Anwesenheit einer zentralen Masse ein größeres Volumen als in Abwesenheit der Masse.
Geometrische Deutung mini|Äußere Schwarzschild-Lösung (Flammsches Paraboloid)
Das Linienelement kann auf zwei Arten interpretiert werden:
Die eine Interpretation Deutet man die radiale Koordinatenlinie als real begehbaren Weg, so stellt der im Linienelement enthaltene metrische Tensor ein Spin-2-Feld dar. Dass dieses Feld Gleichungen gehorcht, die sich aus der riemannschen Geometrie herleiten lassen, wird in diesem Fall nur als beiläufig erachtet.
Die beim Schwarzschild-Radius befindliche Grenzfläche nennt man den Ereignishorizont, wobei letzterer Begriff auch als Synonym für den Schwarzschild-Radius verwendet wird. An dieser Stelle besitzt der radiale Teil der Metrik eine Koordinatensingularität, ein Artefakt der Schwarzschild-Koordinaten. Durch Wahl geeigneter Koordinaten, wie der Kruskal-Szekeres-Koordinaten, kann dieses Problem beseitigt werden. Innerhalb des Schwarzschild-Radius vertauschen Raum- und Zeitkoordinate ihre Bedeutung, da das radiale Linienelement zeitartig und das vormals zeitartige Linienelement raumartig wird. Eine Bewegung durch den Raum wird eine Bewegung durch die Zeit und umgekehrt.
Ein Ereignishorizont existiert erst, wenn sich eine große Masse, wie etwa der Kern eines schweren Sterns, auf einen Bereich innerhalb ihres Schwarzschild-Radius zusammengezogen hat – Masse außerhalb eines Radius von ist irrelevant. Solch ein Objekt wird als Schwarzes Loch bezeichnet, wobei dieses bei nun eine physikalische Singularität enthält.
Die Kruskal-Szekeres-Koordinaten enthalten Lösungen für eine mögliche Verknüpfung zu einem Weißen Loch, bei dem Materie austreten, aber nicht eindringen kann. Verbindungen dieser Art heißen Wurmlöcher und der Übergang von einem Schwarzen zu einem Weißen Loch die Einstein-Rosen-Brücke. Das Schwarzschild-Wurmloch ist zwar eine mathematische Lösung der einsteinschen Feldgleichungen, kann jedoch nicht existieren, da die Verbindung zu keinem Zeitpunkt geschaffen wird. Selbst im Falle einer offenen Verbindung kollabiert diese bei Annäherung an die Singularität. Stabil wäre sie nur unter Verwendung einer spekulativen negativen Energiedichte.
mini|Mathematischer Plot eines Schwarzschild-Wurmlochs Die andere Interpretation Die andere Interpretation, die der Veranschaulichung der räumlichen Krümmung in der Schwarzschildlösung dient, lehnt sich an die ursprüngliche Konzeption Einsteins an, Gravitation als Krümmung der Raumzeit zu verstehen. Die Krümmungen der Raumzeit bestimmen dabei die Gravitationswirkungen. Aus Gründen der besseren Verständlichkeit kann man sich die Raumzeit in einen höherdimensionalen Raum eingebettet vorstellen, um dann ihre Krümmung zu veranschaulichen. Für den Raumteil des Schwarzschild-Modells lässt sich die dahinterliegende Geometrie recht einfach offenlegen. Das radiale Linienelement ist ein Element auf der (liegenden) Parabel , wobei die zusätzliche Dimension im Einbettungsraum bezeichnet.
Betrachtet wird ein Schnitt bei (und damit ) und und die Metrik in den verbliebenen räumlichen Koordinaten:
Ein Vergleich der Koeffizienten ergibt und damit die oben angegebene Parabelgleichung.
An liegt die Leitlinie der Parabel und an ihr Scheitel. Rotiert man den oberen Ast der Parabel um die Leitlinie durch den Winkel , erhält man unter Weglassung der dritten Raumdimension eine Fläche 4. Ordnung, das flammsche Paraboloid.
Die Koordinate ist im Rahmen dieser Betrachtung kein begehbarer Weg, sondern eine Hilfsvariable. Innerhalb des Schwarzschild-Radius kann dieses Modell keine Aussagen machen, die Variable hat den Wertebereich . Das am flammschen Paraboloid entstehende „Loch“ für , wird mit einer weiteren Fläche überdeckt, die aus der inneren Schwarzschildschen Lösung hergeleitet werden kann.
Levi-Civita-Zusammenhang und Christoffel-Symbole Der Levi-Civita-Zusammenhang , der zur Schwarzschild-Metrik gehört, lässt sich durch die Christoffelsymbole beschreiben. Die von 0 verschiedenen Christoffelsymbole sind in Schwarzschild-Koordinaten und den oben genannten natürlichen Einheiten ():Sean Carroll: Lecture Notes on General Relativity. Kapitel 7, Gleichung 7.33.
Bewegungsgleichungen Die Bewegungsgleichung für ein Teilchen unter dem Einfluss der zentralen Masse ist die GeodätengleichungLeonard Susskind: General Relativity Lecture 4. 15. Oktober 2012 (Youtube Zeitstempel 34m18s).
Die Kurve wird dabei durch den affinen Parameter parametriert. Dieser Parameter darf bei Teilchen mit einer Masse mit der Eigenzeit des Teilchens gleichgesetzt werden. Aufgrund der Kugelsymmetrie der Raumzeit darf die Bewegung eines Teilchens ohne Beschränkung der Allgemeinheit in der -Ebene untersucht werden. Aus den oben angegebenen Ausdrücken für die Christoffel-Symbole und der genannten Einschränkung der Bewegung auf die -Ebene ergeben sich neben der Gleichung für die zweite Ableitung der Koordinate die zwei folgenden Gleichungen:
Lösung für Teilchen mit Masse mini|400px|Trajektorie eines Testkörpers mit Masse• links: Lösung der klassischen Newtonschen Mechanik• rechts: Schwarzschild-Lösung der Relativitätstheorie
Wie bereits beschrieben, darf im Fall nicht verschwindender Masse die Ableitung nach dem affinen Parameter durch die Ableitung nach der Eigenzeit des Teilchens ersetzt werden. Diese wird im Folgenden mit einem Punkt gekennzeichnet. Zusätzlich kann man aus der Formel für das Linienelement die nützliche Gleichung ableiten, dass das Quadrat der Vierer-Geschwindigkeit ist. Daraus kann man durch Umformung die Gleichung
ableiten. Wird dieser Ausdruck für die erste Ableitung der zeitartigen Koordinate nach der Eigenzeit des Testkörpers in die Formel für die zweite Ableitung der Koordinate nach der Eigenzeit eingesetzt, ergibt sich:
Diese Gleichung unterscheidet sich von der klassischen Gleichung nach Newton durch den zusätzlichen Term in der Gleichung für die radiale Komponente. Dieser bewirkt, dass sich Teilchen mit Ausnahme des Falls, in dem die Umlaufgeschwindigkeit die exakte Kreisbahngeschwindigkeit ist, nicht auf geschlossenen Bahnen um das stellare Objekt bewegen: Bei Entfernungen ist die relativistische Zentrifugalkraft gegenüber der klassischen Physik vermindert. Dadurch ist die Krümmung der Bahn abseits der exakten Kreisbahn bei stärker als bei einer Ellipsenbahn und die Bahn schließt sich nicht nach einem Umlauf. Dieser Effekt ist bei Untersuchungen der Periheldrehung der Merkurbahn experimentell bestätigt worden. Bei Entfernungen hat die relativistische Zentrifugalkraft gegenüber der klassischen Physik ein umgekehrtes Vorzeichen. Anschaulich gesehen wirkt somit in diesem Bereich die Zentrifugalkraft anziehend statt abstoßend. Bahnen, die in den Bereich von 1,5 Schwarzschild-Radien um die Masse herum eindringen, führen demzufolge dazu, dass das Teilchen unmittelbar in die Masse stürzt.Cole Miller for the Department of Astronomy, University of Maryland: ASTR 498, High Energy Astrophysics 10.
Erhaltungsgrößen und Bewegungsgleichungen Die in der Schwarzschildmetrik vorhandene Kugelsymmetrie (drei raumartige Killingfelder) führt zur Erhaltung des Drehimpulses, das zeitartige Killingfeld führt zur Erhaltung der Energie.
Um anschauliche Parameter zu verwenden, kann für jeden Punkt der Bahn des Teilchens eine lokale Geschwindigkeit eingeführt werden. Diese Geschwindigkeit wird von einem ruhenden Beobachter mit seiner lokalen Uhr und seinem lokalen Maßstab gemessen. Aufgrund der Beschränkung auf eine Bewegung in der -Ebene kann diese Geschwindigkeit in eine radiale und eine azimutale Komponente zerlegt werden. Diese Komponenten können wie folgt berechnet werden:
und .
Ferner gilt:
.
Mit Hilfe dieser Definitionen lassen sich die Konstanten der Bewegung (Erhaltungsgrößen), wie Gesamtenergie und Drehimpuls wie folgt ausdrücken:L.D. Landau, E.M. Lifschitz, Band 2, Klassische Feldtheorie, 12. Auflage, 1997, Seite 298 f.
und
Die Gesamtenergie des Testpartikels setzt sich aus
also der Ruhe-, der kinetischen und der potentiellen Energie zusammen, wobei
und .
Die Bewegungsgleichungen werden mit dem TermTorsten Fließbach: Allgemeine Relativitätstheorie. S. 139, 4. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, 2003, ISBN 3-8274-1356-7.
als Funktion der Erhaltungsgrößen und der lokalen Dreier-Geschwindigkeit zu: {| class="wikitable" ! bezüglich der Eigenzeit : ! als Funktion von : ! bezüglich der Koordinatenzeit :
Um die Bahn über den Ereignishorizont hinaus bis zur zentralen Singularität fortzusetzen, ist nur die Form bezüglich der Eigenzeit geeignet, da die Koordinatenzeit bei divergiert.
Lösung für Teilchen ohne Masse
Die Lösung der Bewegungsgleichung für Teilchen ohne Masse unterscheidet sich von den Lösungen für Teilchen mit Masse darin, dass das Quadrat der Vierer-Geschwindigkeit ist. Die Erhaltungsgrößen und Bewegungsgleichungen haben in diesem Fall deshalb die folgende andere Form.
Erhaltungsgrößen und Bewegungsgleichungen