Determinante

In der linearen Algebra ist die Determinante eine Zahl (ein Skalar), die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird und aus ihren Einträgen berechnet werden kann. Sie gibt an, wie sich das Volumen bei der durch die Matrix beschriebenen linearen Abbildung ändert, und ist ein nützliches Hilfsmittel bei der Lösung linearer Gleichungssysteme. Allgemeiner kann man jeder linearen Selbstabbildung (Endomorphismus) eine Determinante zuordnen. Übliche Schreibweisen für die Determinante einer Matrix sind , oder . mini|Die 2×2-Determinante ist gleich dem orientierten Flächeninhalt des von ihren Spaltenvektoren aufgespannten Parallelogramms. Zum Beispiel kann die Determinante einer -Matrix

mit der Formel

berechnet werden.

Mit Hilfe von Determinanten kann man beispielsweise feststellen, ob ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, und kann die Lösung mit Hilfe der Cramerschen Regel explizit angeben. Das Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich null ist. Entsprechend ist eine quadratische Matrix mit Einträgen aus einem Körper genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich null ist.

Schreibt man Vektoren im als Spalten einer quadratischen Matrix, so kann die Determinante dieser Matrix gebildet werden. Bilden bei dieser Festlegung die Vektoren eine Basis, so kann das Vorzeichen der Determinante dazu verwendet werden, die Orientierung von euklidischen Räumen zu definieren. Der Absolutbetrag dieser Determinante entspricht zugleich dem Volumen des n-Parallelotops, das durch diese Vektoren aufgespannt wird.

Wird die lineare Abbildung durch die Matrix repräsentiert und ist eine beliebige messbare Teilmenge, dann folgt, dass das Volumen von durch gegeben ist.

Wird die lineare Abbildung durch die -Matrix repräsentiert und ist eine beliebige messbare Teilmenge, so gilt im Allgemeinen, dass das -dimensionale Volumen von durch gegeben ist, siehe Gramsche Determinante.

Das Konzept der Determinante ist von Interesse für -Matrizen mit . Für verkommt es zur Trivialität : So besteht ein lineares Gleichungssystem für den Fall aus einer Gleichung .

Definition Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Determinante zu definieren (s. unten). Die gebräuchlichste ist die folgende rekursive Definition.

Entwicklung der Determinante nach einer Spalte oder Zeile:

Für n = 2:

Für n = 3: Entwicklung nach der 1. Spalte

Entsprechend für n = 4, …

Der Laplacesche Entwicklungssatz (s. unten) sagt: Man darf eine Determinante nach einer beliebigen Spalte oder Zeile entwickeln, solange man das schachbrettartige Vorzeichenmuster einhält:

Formal lässt sich das so schreiben: (Entwicklung nach der -ten Spalte) (Entwicklung nach der -ten Zeile),

wobei die -Untermatrix von ist, die durch Streichen der -ten Zeile und -ten Spalte entsteht.

Beispiel:

Eigenschaften für Einheitsmatrix , wobei die transponierte Matrix von ist.

Für quadratische Matrizen und gleicher Größe gilt der Determinantenmultiplikationssatz: . für eine Matrix und eine Zahl . Für eine Dreiecksmatrix gilt . Besteht eine Reihe oder Spalte aus Nullen, ist die Determinante 0. Sind zwei Spalten (Zeilen) gleich, ist die Determinante 0. Vertauscht man zwei Spalten (Zeilen), so ändert eine Determinante ihr Vorzeichen. Sind die Spaltenvektoren (Zeilenvektoren) einer Matrix und eine Zahl, so gelten: a1) , a2) , entsprechend für die anderen Spaltenvektoren (Zeilenvektoren). b) ist das (orientierte) Volumen (Flächeninhalt im Fall n = 2) des von den Vektoren aufgespannten Polytopes (Parallelogramm). Addition eines Vielfachen einer Spalte (Zeile) zu einer anderen Spalte (Zeile) ändert eine Determinante nicht. Man kann also eine Determinante mit einem abgeschwächten Gauß-Algorithmus zu einer Dreiecksmatrix umformen und Eigenschaft 6 zur Berechnung der Determinante verwenden. Man beachte Eigenschaften 9 und 10.a2). Nur für -Determinanten gilt die Regel von Sarrus: mini|links|hochkant=1|Regel von Sarrus

Beispiel, Anwendung der Regeln 11, 10, 8:

Axiomatische Beschreibung Eine Abbildung vom Raum der quadratischen Matrizen in den zugrunde liegenden Körper bildet jede Matrix auf ihre Determinante ab, wenn sie folgende drei Eigenschaften (Axiome nach Karl Weierstraß) erfüllt, wobei eine quadratische Matrix spaltenweise als geschrieben wird:

Sie ist multilinear, d. h. linear in jeder Spalte: Für alle gilt:

Für alle und alle gilt:

Sie ist alternierend, d. h., wenn in zwei Spalten das gleiche Argument steht, ist die Determinante gleich 0: Für alle und alle gilt:

Hieraus folgt, dass sich das Vorzeichen ändert, wenn man zwei Spalten vertauscht: Für alle und alle gilt:

Oft wird diese Folgerung zur Definition von alternierend verwendet. Im Allgemeinen ist diese jedoch nicht zur obigen äquivalent. Wird alternierend nämlich auf die zweite Weise definiert, gibt es keine eindeutige Determinantenform, wenn der Körper, über dem der Vektorraum gebildet wird, ein von 0 verschiedenes Element mit besitzt (Charakteristik 2). Sie ist normiert, d. h., die Einheitsmatrix hat die Determinante 1:

Es lässt sich beweisen (und Karl Weierstraß hat dies 1864 oder sogar früher getan), dass es eine und nur eine solche normierte alternierende Multilinearform auf der Algebra der -Matrizen über dem zugrundeliegenden Körper gibt – nämlich diese Determinantenfunktion (Weierstraßsche Determinantenkennzeichnung). Auch die schon erwähnte geometrische Interpretation (Volumeneigenschaft und Orientierung) folgt daraus.

Leibniz-Formel Für eine -Matrix wurde die Determinante von Gottfried Wilhelm Leibniz durch die heute als Leibniz-Formel bekannte Formel für die Determinante einer Matrix definiert:Leibnizformel. mathepedia.d

Die Summe wird über alle Permutationen der symmetrischen Gruppe vom Grad berechnet. bezeichnet das Signum der Permutation (+1, falls eine gerade Permutation ist, und −1, falls sie ungerade ist) und ist der Funktionswert der Permutation an der Stelle . Die zweite Darstellung folgt unmittelbar aus der Eigenschaft für die Determinante der transponierten Matrix .

Beispielhaft für eine -Matrix:

Für enthält die symmetrische Gruppe alle Permutationen, in welchen die Zahlen 1, 2 und 3 angeordnet werden können: .

Für jede dieser Permutationen wird die Parität berechnet, welche negativ ist, wenn die Anzahl ihrer Fehlstände ungerade ist, und positiv, wenn nicht. Dann wird das Produkt der Einträge der Matrix von berechnet, wobei der erste Index , der zweite Index die Zahl ist, auf den der -te Eintrag der Permutation abbildet.

Für die Permutation ergibt das .

Die Summe dieser Terme ergibt dann die Determinante der -Matrix:

Durch eine Umordnung der Terme wird ersichtlich, dass dies für eine -Matrix äquivalent mit der Regel von Sarrus ist:

Die Leibniz-Formel enthält Summanden und wird deshalb schnell umso unhandlicher, je größer ist. Sie eignet sich jedoch gut zum Beweis von Aussagen über Determinanten. Beispielsweise ist mit ihrer Hilfe die Stetigkeit der Determinantenfunktion ersichtlich.

Eine alternative Schreibweise der Leibniz-Formel verwendet das Levi-Civita-Symbol und die Einsteinsche Summenkonvention:

Die letzte Darstellung folgt aus der zweiten durch Permutation der Spalten von , der Alternatiertheit der Determinantenfunktion und dem Fakt, dass es insgesamt Permutationen gibt.

Determinante eines Endomorphismus Da ähnliche Matrizen die gleiche Determinante haben, kann man die Definition der Determinante von quadratischen Matrizen auf die durch diese Matrizen dargestellten linearen Selbstabbildungen (Endomorphismen) übertragen:

Die Determinante einer linearen Abbildung eines Vektorraums in sich ist die Determinante einer Darstellungsmatrix von bezüglich einer Basis von . Sie ist unabhängig von der Wahl der Basis.

Hierbei kann ein beliebiger endlichdimensionaler Vektorraum über einem beliebigen Körper sein. Allgemeiner kann man auch einen kommutativen Ring mit Einselement und einen freien Modul vom Rang über betrachten.

Die Definition lässt sich ohne Verwendung von Matrizen folgendermaßen formulieren: Es sei eine Determinantenfunktion. Dann ist bestimmt durch , wobei der Rücktransport von Multilinearformen durch ist. Es sei eine Basis von . Dann gilt:

Es ist unabhängig von der Wahl von und der Basis. Geometrisch interpretiert erhält man das Volumen des von aufgespannten Spates, indem man das Volumen des von aufgespannten Spates mit dem Faktor multipliziert.

Eine alternative Definition ist die folgende: Es sei die Dimension von und die -te äußere Potenz von . Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung , die durch

festgelegt ist. (Diese Abbildung ergibt sich durch universelle Konstruktion als Fortsetzung von auf die äußere Algebra , eingeschränkt auf die Komponente vom Grad .)

Da der Vektorraum eindimensional ist, ist einfach nur die Multiplikation mit einem Körperelement. Dieses Körperelement ist . Es gilt also .

Weitere Möglichkeiten zur Berechnung

Spatprodukt

Liegt eine -Matrix vor, lässt sich deren Determinante auch über das Spatprodukt berechnen.

Gaußsches Eliminationsverfahren zur Determinantenberechnung

Allgemein können Determinanten mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren unter Verwendung der folgenden Regeln berechnet werden:

Ist eine Dreiecksmatrix, dann ist das Produkt der Hauptdiagonalelemente die Determinante von . Falls sich aus ergibt, indem man zwei Zeilen oder Spalten vertauscht, dann ist . Falls sich aus ergibt, indem man ein Vielfaches einer Zeile oder Spalte zu einer anderen Zeile oder Spalte addiert, dann ist . Falls sich aus ergibt, indem man das -Fache einer Zeile oder Spalte bildet, dann ist .

Beginnend mit einer beliebigen quadratischen Matrix benutzt man die letzten drei dieser vier Regeln, um die Matrix in eine obere Dreiecksmatrix zu überführen, und berechnet dann die Determinante als Produkt der Diagonalelemente.

Auf diesem Prinzip basiert auch die Determinantenberechnung mittels der LR-Zerlegung. Da sowohl als auch Dreiecksmatrizen sind, ergeben sich ihre Determinanten aus dem Produkt der Diagonalelemente, die bei alle auf 1 normiert sind. Gemäß dem Determinantenproduktsatz ergibt sich die Determinante damit aus dem Zusammenhang

Laplacescher Entwicklungssatz

Mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz kann man die Determinante einer -Matrix „nach einer Zeile oder Spalte entwickeln“. Die beiden Formeln lauten

(Entwicklung nach der -ten Spalte) (Entwicklung nach der -ten Zeile),

wobei die -Untermatrix von ist, die durch Streichen der -ten Zeile und -ten Spalte entsteht. Das Produkt wird Cofaktor genannt.

Genau genommen gibt der Entwicklungssatz nur ein Verfahren an, die Summanden der Leibniz-Formel in einer bestimmten Reihenfolge zu berechnen. Dabei wird die Determinante bei jeder Anwendung um eine Dimension reduziert. Falls gewünscht, kann das Verfahren so lange angewandt werden, bis sich ein Skalar ergibt (s. oben).

Der laplacesche Entwicklungssatz lässt sich auf folgende Weise verallgemeinern. Statt nur nach einer Zeile oder Spalte kann man auch nach mehreren Zeilen oder Spalten entwickeln. Die Formel dafür lautet

mit den folgenden Bezeichnungen: und sind Teilmengen von und ist die Untermatrix von , die aus den Zeilen mit den Indizes aus und den Spalten mit den Indizes aus besteht. und bezeichnen die Komplemente von und . ist die Summe der Indizes aus . Für die Entwicklung nach den Zeilen mit den Indizes aus läuft die Summe über alle , wobei die Anzahl dieser Spaltenindizes gleich der Anzahl der Zeilen ist, nach denen entwickelt wird. Für die Entwicklung nach den Spalten mit den Indizes aus läuft die Summe über . Die Anzahl der Summanden ergibt sich als der Binomialkoeffizient mit .

Effizienz:

Determinante

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