Die Leibnizregel für Parameterintegrale erlaubt die Berechnung der Ableitung eines Parameterintegrals nach seinem Parameter.
Definition Gegeben sei das Parameterintegral
wobei die Funktion , , stetig mit stetiger partieller Ableitung nach der ersten Variablen, ist und stetig differenzierbar sind. Dann ist auf dem offenen Intervall stetig differenzierbar.
Für die Ableitung gilt die Leibnizregel für Parameterintegrale:
Herleitung Zur Herleitung kann man die Funktion definieren und zeigen, dass sie auf stetig differenzierbar ist: existiert wegen der Differenzierbarkeit des Parameterintegrals und ist stetig wegen der Stetigkeit des Parameterintegrals. Existenz und Stetigkeit von und folgen aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Mit der Kettenregel ergibt sich dann
Anwendungen Anwendung findet die Leibnizregel für Parameterintegrale beispielsweise in der Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichungen in der Variationsrechnung bei der Extremalisierung von (parametrisierten) Funktionalen.
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Einzelnachweise
Kategorie:Integralrechnung