Der Fortsetzungssatz von Tietze (Kelley: General topology. 1975, S. 176.Patty: Foundations of Topology. 1993, S. 176.Jameson: Topology and normed spaces. 1974, S. 113.), auch als Erweiterungssatz von TietzeRinow: Lehrbuch der Topologie. 1975, S. 170. oder als Satz von Tietze-UrysohnSchubert: Topologie. 1975, S. 83. genannt, ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie. Er setzt normale topologische Räume mit stetigen Fortsetzungen in Beziehung. Veröffentlicht wurde der Satz im Jahr 1915 von Heinrich Tietze.
Der Satz ist eine Verallgemeinerung des Urysohnschen Lemmas und kann in vielen Fällen angewendet werden, da alle metrischen Räume und alle kompakten Hausdorff-Räume normal sind.
Fortsetzungssatz von Tietze
Ein topologischer Raum ist genau dann ein normaler Raum, wenn zu jeder auf einer abgeschlossenen Teilmenge von definierten, stetigen Funktion
eine stetige Funktion
existiert mit , d. h. für alle . Die Funktion wird als stetige Fortsetzung von bezeichnet.
Dies ist ein reiner Existenzsatz. Bis auf wenige Ausnahmen ist eine solche stetige Fortsetzung nicht eindeutig, d. h., es kann zu gegebener Funktion mehr als eine Funktion mit der gesuchten Eigenschaft geben.
Stärkere Fassung Der Fortsetzungssatz von Tietze lässt sich in noch stärkerer Fassung formulieren:
Ein topologischer Raum ist dann und nur dann ein normaler Raum, wenn zu jeder beliebigen stetigen Abbildung der Form mit einem abgeschlossenen und einem aus Intervallen von bestehenden Produktraum stets eine stetige Fortsetzung existiert.
Für die Anwendungen des Satzes ist insbesondere der Fall bedeutsam.
Beispiel In metrischen Räumen kann eine Fortsetzung explizit angegeben werden: Es seien abgeschlossen und nichtnegativ. Dann ist
eine stetige Fortsetzung von auf ganz .
Siehe auch Lemma von Urysohn Interpolationssatz von Katětov
Literatur
Göttinger Digitalisierungszentrum. Göttinger Digitalisierungszentrum.
Einzelnachweise
Kategorie:Mengentheoretische Topologie Tietze