Der Oktaeder des Grauens ist eine von den Medien popularisierte Bezeichnung für eine Mathematikaufgabe aus dem Bereich lineare Algebra und analytische Geometrie, die im Zentralabitur Nordrhein-Westfalens von 2008 gestellt wurde. Da sie von vielen Schülern als zu schwer empfunden wurde und zusammen mit der Nowitzki-Aufgabe (Stochastik) für das schlechte Abschneiden vieler Schüler im Bereich Mathematik verantwortlich gemacht wurde, fand sie einen größeren Widerhall in den Medien und entwickelte sich im Laufe der Zeit zu einem Sinnbild für die Probleme des neu eingeführten Zentralabiturs von Nordrhein-Westfalen.
Hintergrund und Rezeption Nachdem es bei dem im Vorjahr neu eingeführten Zentralabitur zu vergleichsweise wenig Problemen gekommen war, traten 2008 insbesondere im Bereich Mathematik größere Probleme auf, die zu Protesten von Schülern und Lehrern führten und nationale Aufmerksamkeit erregten. Die Mathematikaufgaben, die vielen Schülern unerwartet starke Schwierigkeiten bereiteten, waren die Oktaeder-Aufgabe und eine Aufgabe aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu Würfen des Basketballspielers Dirk Nowitzki, die seitdem auch als Nowitzki-AufgabeUte Sproesser, Silvia Wessolowski, Claudia Wörn: Daten, Zufall und der Rest der Welt: Didaktische Perspektiven zur anwendungsbezogenen Mathematik. Springer, 2015, ISBN 9783658046699, S. 15 bezeichnet wird.
Die Oktaeder-Aufgabe wurde zunächst von Schülern in internen Diskussionen als Oktaeder des Grauens bezeichnet. Diese Bezeichnung wurde dann schnell von den Medien übernommenJens Stubbe, Volker Schulte: Das "Oktaeder der Grauens". Westfalenpost, 5. Juni 2008 und fand sich auch in diversen Überschriften von Pressepublikationen wieder. So betitelte zum Beispiel die Süddeutsche Zeitung ihren Bericht zum Abitur in Nordrhein-Westfalen mit „Oktaeder des Grauens“.Tanyev Schultz: "Oktaeder des Grauens". Süddeutsche Zeitung, 7. Juni 2008 Später wurde diese Bezeichnung auch von der Fachliteratur übernommen und oft auch als exemplarisches Beispiel für Probleme beim Zentralabitur Nordrhein-Westfalens zitiert.siehe z. B. Drossel/Strietholt, Henn/Filler oder Stender
Erste Rückmeldungen über die Schwierigkeiten wurden über spickmich, ein Internetportal für Schüler, bekannt. In einer (nicht repräsentativen) Umfrage des Portals unter 1000 Schülern, die die umstrittenen Mathematikaufgaben bearbeitet hatten, gaben 50 % an, dass sie in Nach- oder Abweichungsprüfungen müssten. Auch über eine weitere Internetplattform organisierte sich Protest, die Initiative Mathe-Boykott sammelte 2778 Unterschriften von Eltern, Lehrern und Schülern für die Forderung, die Mathematiknoten pauschal anzuheben.Peter V. Brinkemper: Schöne Neue Mathematik und der Oktaeder des Grauens. Telepolis, 22. Juni 2008 Kritik kam auch vom Philologenverband Nordrhein-Westfalens, und mehrere Mathematikprofessoren kritisierten insbesondere die Formulierung der Nowitzki-Aufgabe. Große Teile der Presse äußerten sich ebenfalls kritisch zu Aufgaben, Ablauf und Krisenmanagement des Abiturs durch die Regierung Nordrhein-Westfalens, es war von einem „Abi-Chaos“ und „Mathe-Chaos“ die Rede.Kristian Frugelj: Skandal um Abitur-Aufgaben?. Die Welt, 7. Juni 2008 "Aufgabe unlösbar, Lösung unsinnig". Westfalenpost, 22. Juni 2008Christoph Lumme: Abitur 2008: Der Würfel des Grauens. Westdeutsche Zeitung, 22. Mai 2008
Aufgrund des zunehmenden öffentlichen Drucks setzte die Kultusministerin Barbara Sommer (CDU) anstatt der sonst üblichen Nachprüfungen für Einzelfälle schließlich einen allgemeinen Wiederholungstermin für den 17. Juni an, der allen Schülern, die die Oktaeder- oder Nowitzki-Aufgabe bearbeitet hatten, offen stand.Markus Flohr, Jochen Leffers: "Oktaeder des Grauens" - Mathe-Opfer in NRW erhalten zweite Chance. Spiegel Online, 9. Juni 2008 Zudem setzte sie eine neue an der TU Dortmund beheimatete Kommission unter Leitung von Wilfried Bos ein, deren Aufgabe es ist, zukünftige Abituraufgaben zu begutachten.Theo Schumacher: Abi-Pannenserie trotz teurer Experten - Ministerium will 'Abi-Tüv' überprüfen. Westdeutsche Allgemeine Zeitung, 26. Juni 2011 Pannenfreies Zentralabitur. Süddeutsche Zeitung, 17. Mai 2010 (online)Arno Heissmeyer: ZentralabiturEine zweite Chance. Focus, 9. Juni 2008
Notenstatistik Rund 34.000 Schüler legten eine schriftliche Prüfung im Fach Mathematik ab, und etwa 20.000 von ihnen (60 %) bearbeiteten die Oktaeder-Aufgabe. Die Nowitzki-Aufgabe wurde hingegen nur von etwa 900 Schülern bearbeitet und spielte damit bei den Schwierigkeiten eine eher untergeordnete Rolle. Zudem ergab eine vom Ministerium durchgeführte Stichprobe, anders als bei der Oktaeder-Aufgabe, keine Hinweise darauf, dass die Nowitzki-Aufgabe den Schülern besondere Probleme bereitete. An Gymnasien wurde in Klausuren ein Notendurchschnitt von 8,2 Punkten (mögliche Notenpunkte: 0 bis 15) erreicht, der exakt der durchschnittlichen Vornote entsprach. An Gesamtschulen jedoch wurde nur ein Notendurchschnitt von 4,6 Punkten erreicht, der zudem auch 2,3 Punkte unter der durchschnittlichen Vornote von 6,9 Punkten lag. Bei den Leistungskursen wiesen an Gymnasien 11,7 % und an Gesamtschulen 40,2 % der Schüler in der Klausur eine negative Abweichung von drei oder mehr Notenpunkten gegenüber der Vornote auf. Die Anzahl der Schüler, die in der Leistungskursklausur eine Minderleistung (weniger als 5 Punkte) erbrachten, lag an Gymnasien bei 16,8 % und an Gesamtschulen bei 54,5 %, was eine Zunahme von 5 % für Gymnasien und 10,6 % für Gesamtschulen gegenüber dem Vorjahr bedeutete. 1801 Schüler nahmen an der angebotenen Wiederholungsklausur am 17. Juni teil; dabei verbesserten die Leistungskursschüler ihre Klausurnote im Schnitt um 1,8 Punkte und die Grundkursschüler um 2,7 Punkte.Evaluation Zentralabitur 2008 an Gymnasien und Gesamtschulen in Nordrhein-Westfalen (abgerufen, 26. März 2019)
Fachdidaktische Sicht Der leitende Regierungsschuldirektor Norbert Stirba äußerte sich im Herbst 2008 in einem Interview zu der Oktaeder-Aufgabe. Ihm zufolge bestand ein Unterschied zum Abitur des vorangegangenen Jahres darin, dass diesmal auch in größerem Umfang leistungsstarke Schüler Schwierigkeiten mit der Aufgabenstellung hatten. Dies lag zum einen daran, dass sie vermutlich zu zeitaufwendig war, und zum anderen, dass sie einen Schwerpunkt auf die geometrische Anschauung legte, während im Unterricht vieler Schüler der Fokus auf analytischen Rechenverfahren gelegen hatte.Zentrale Prüfungen 2008. Newsletter vom 25. September 2008 (Interview mit dem Leitenden Regierungsschuldirektor Norbert Stirba)
Der Mathematiker Hans Niels Jahnke beschrieb die Oktaeder-Aufgabe als mathematisch reizvoll, wies aber darauf hin, dass ihre Lösung Kreativität und viel Rechenarbeit benötigte.Stephan Hermsen: Die Chaostheorie als Zugabe. Neue Ruhr Zeitung, 10. Juni 2008
Die Bewertung der Oktaeder-Aufgabe durch Fachleute fiel insgesamt weniger kritisch aus als bei der Nowitzki-Aufgabe. Während Letztere von Mathematikprofessoren als „unlösbar“ und „unsinnig“ ohne zusätzliche Annahmen durch den Schüler bewertet und für das Fehlen eines expliziten Hinweises zu diesen kritisiert wurde, Franz-Reinhold Diepenbrock: Basketballaufgabe aus dem Zentralabitur Nordrhein-Westfalen (abgerufen am 22. August 2020) wurde Erstere sowohl als lösbar als auch vom Schwierigkeitsgrad der einzelnen Teilaufgaben her als angemessen betrachtet. Allerdings wurde sie als zu umfangreich für die zur Verfügung stehende Zeit angesehen und zudem aus Sicht der Mathematikdidaktik kritisiert.Franz-Reinhold Diepenbrock: Pannen, Beinahe-Pannen und nur vermeintliche Pannen beim Mathematik-Zentralabitur NRW in den Jahren 2008 , 2010 und 2011 (abgerufen am 24. März 2019)Peter Stender: Lehrerinterventionen bei der Betreuung von Modellierungsfragestellungen auf Basis von heuristischen Strategien. In: Rita Borromeo Ferri (Hrsg.), Werner Blum (Hrsg.): Lehrerkompetenzen zum Unterrichten mathematischer Modellierung: Konzepte und Transfer. Springer, 2018, ISBN 9783658226169, S. 122 So argumentiert zum Beispiel der Mathematikdidaktiker Rainer Kaenders, dass sich eine mathematische Kompetenz gerade dadurch auszeichne, eine möglichst einfache Darstellung für eine mathematische Modellierung zu wählen. Dementsprechend würde man für Untersuchungen an einem Oktaeder diesen so in einem Koordinatensystem platzieren, dass sein Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt, und auch für Schnittebenen eine einfachere Darstellung wählen. Die für die Oktaeder-Aufgabe gewählte Darstellung sei daher mathematisch unsinnig, nicht authentisch und diente vermutlich allein dazu, den (technischen) Schwierigkeitsgrad der Aufgabe künstlich zu erhöhen.Rainer Kaenders: Begeisterung für Mathematik. Antrittsvorlesung an der Uni Köln, 24. Oktober 2008, S. 10–13 (Online-Kopien: , )
Aufgabenstellung mini|hochkant=1.0|Abbildung 1 mini|hochkant=1.0|Abbildung 2 Sowohl die Grund- als auch die Leistungskursaufgabe beginnen mit derselben weiter unten wiedergegebenen Definition eines Oktaeders und den beiden rechts gezeigten Abbildungen. Zudem waren für beide dieselben Hilfsmittel zugelassen, nämlich ein wissenschaftlicher Taschenrechner (WTR oder GTR), eine mathematische Formelsammlung und ein Wörterbuch der deutschen Rechtschreibung.
Ein Oktaeder ist ein regelmäßiges Polyeder, dessen Oberfläche aus acht kongruenten gleichseitigen Dreiecken besteht. Jedes Oktaeder kann einem Würfel so einbeschrieben werden, dass die Eckpunkte des Oktaeders in den Mittelpunkten der Seitenflächen des Würfels liegen.
Leistungskurs Von dem in der Abbildung 1 dargestellten Oktaeder sind die Eckpunkte und gegeben. Dieses Oktaeder ist auf die oben genannte Art in den abgebildeten Würfel mit den Ecken bis einbeschrieben. M LK HT 6, Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Abiturprüfung 2008, Leistungskurs) (Online-Kopie (archived); Online-Kopie, pdf, S. 301-313 (archived))
a)
Den Abstand zweier paralleler Seitenflächen eines Oktaeders nennt man „Dicke des Oktaeders“. Berechnen Sie die Dicke des abgebildeten Oktaeders als Abstand des Punktes von der Ebene . (8 Punkte)
b) Bestimmen Sie die Koordinaten der Eckpunkte und des abgebildeten Würfels. (8 Punkte)
c) Der Mittelpunkt der Strecke sei , der Mittelpunkt der Strecke sei ; sei die Gerade, die durch diese Punkte und verläuft. Das Oktaeder wird um die Gerade als Drehachse so gedreht, dass sich der Punkt in die neue Position bewegt. Zeigen Sie, dass der zugehörige Drehwinkel beträgt. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes als neue Position des Eckpunktes nach der Drehung. (11 Punkte)
d) Durch sei eine Schar von Ebenen gegeben; sei die Gerade, die durch die Punkte und verläuft. Zeigen Sie, dass jede Ebene der Schar orthogonal zur Geraden verläuft. Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Ebene mit der Geraden . [Zur Kontrolle: ] Für schneidet die Ebene von dem abgebildeten Oktaeder eine Pyramide mit der Spitze ab (siehe Abbildung 2). Ermitteln Sie das Volumen der abgeschnittenen Pyramide. (15 Punkte)
e) Von dem Oktaeder werden sechs Pyramiden mit dem gleichen Volumen so abgeschnitten, dass jede Ecke des Oktaeders die Spitze einer Pyramide und die Grundfläche jeder abgeschnittenen Pyramide parallel zur gegenüberliegenden Würfelseite ist (vgl. Aufgabenteil d)). Es entsteht ein Restkörper . Beschreiben Sie die Eigenschaften dieses Restkörpers für und hinsichtlich der Anzahl und Eigenschaften seiner Seitenflächen. (8 Punkte)
Grundkurs Gegeben sind die Punkte und . M GK HT 6, Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Abiturprüfung 2008, Grundkurs) (Online-Kopie, pdf, S. 205-214 (archived)) a) Begründen Sie: Die Punkte und sind die Eckpunkte eines rechtwinkligen und gleichschenkligen Dreiecks. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes so, dass die Punkte und ein Quadrat bilden. (8 Punkte) b)