mini|hochkant=1.6|Graphische Darstellung des einfachen Solow-Modells (Solow-Modell ohne Bevölkerungswachstum und technischen Fortschritt) mit dem Pro-Kopf-Einkommen auf der vertikalen Achse und dem Pro-Kopf-Kapitalstock auf der horizontalen Achse. Zu sehen ist der gleichgewichtige Kapitalstock und das gleichgewichtige Pro-Kopf-Einkommen . Das Solow-Modell, auch Solow-Swan-Modell oder Solow-Wachstumsmodell genannt, ist ein 1956 von Robert Merton Solow und Trevor Swan entwickeltes Modell, welches einen Beitrag dazu leistet, das ökonomische Wachstum einer Volkswirtschaft mathematisch zu erklären. Es stellt ein exogenes Wachstumsmodell dar und bildet eine Grundlage der neoklassischen Wachstumstheorie. Aufgrund seiner besonderen attraktiven mathematischen Eigenschaften und der mathematischen Einfachheit erwies sich das Solow-Modell als ein geeigneter Ausgangspunkt für verschiedenste Erweiterungen.
Allgemeines Das Solow-Modell erklärt Wachstum als Prozess der Akkumulation von physischem Kapital hin zu einem langfristigen Gleichgewicht zwischen Investitionen und Abschreibungen, einem sogenannten Wachstumsgleichgewicht bzw. stationären Zustand ( steady state). Im Kern des Modells befindet sich eine aggregierte neoklassische Produktionsfunktion, welche meist vom Cobb-Douglas-Typ ist und die dem makroökonomischen Modell erlaubt „Kontakt zu der Mikroökonomie herzustellen“. Eine Volkswirtschaft, die zu Beginn mit wenig Kapital ausgestattet ist, wird in dem Modell zusätzliches Kapital ansparen und dadurch wachsen – anfangs mit hohen, mit zunehmender Kapitalakkumulation dann mit niedrigeren Wachstumsraten –, bis das langfristige Gleichgewicht erreicht wird. Im langfristigen Gleichgewicht ist die Wachstumsrate der Pro-Kopf-Produktion null. Weiteres Wachstum ist nur durch nicht im Modell erklärten (exogenen), technologischen Fortschritt möglich, da dieser die Eigenschaft aufweist, dass er die Beschränkung der abnehmenden Grenzerträge überwindet.
Entstehungsgeschichte Solow und Swan entwickelten voneinander unabhängig ähnliche Versionen ihres Wachstumsmodells; Solow veröffentlichte seinen Beitrag im Februar 1956 im Quarterly Journal of Economics, Swans Artikel erschien im November in Economic Record. Während zu Beginn auch Swans Artikel auf große fachliche Rezeption stieß – der Beitrag wurde mehrmals in Sammelbände aufgenommen, und Swan wurde als Gastprofessor an verschiedene Universitäten eingeladen – setzte sich langfristig Solows Version des Modells und insbesondere die von ihm gewählte graphische Darstellung durch.Siehe hierzu auch: Robert W. Dimand, Barbara J. Spencer: Trevor Swan and the Neoclassical Growth Model. NBER Working Paper 13950, April 2008. Später entwickelte Solow viele Implikationen und Anwendungen dieses Modells und erhielt im Jahr 1987 den Wirtschaftsnobelpreis für seine Beiträge zur Wachstumstheorie.Daron Acemoglu: Introduction to Modern Economic Growth. Princeton University Press, Princeton 2009, S. 37.
Das Solow-Swan-Modell war eine Kritik und Weiterentwicklung des zu dieser Zeit vorherrschenden Wachstumsmodells nach Harrod-Domar. Wie das Solow-Modell nahm auch das Harrod-Domar-Modell eine konstante, exogene Sparquote an. Das Modell beruhte aber auch auf einer konstanten Grenzproduktivität des Kapitals und auf einer Produktionsfunktion mit geringer bzw. nicht existenter Substituierbarkeit zwischen Arbeit und Kapital. Das Harrod-Domar-Modell erlaubt mehrere verschiedene Wachstumsgleichgewichte: In einem möglichen Szenario wächst Kapital, ohne benutzt zu werden, in einem anderen wächst die Arbeitslosigkeit. Nur in einer Parameterkonstellation ergibt sich ein Wachstumsgleichgewicht, in dem alle verfügbaren Produktionsfaktoren benutzt werden.Barro, Sala-i-Martin: Economic Growth. S. 71–74.
Das Modell Annahmen Die Volkswirtschaft wird im Solow-Modell als eine Aggregatseinheit angesehen (sozusagen als ein einziger Haushalt), die jegliche Produktions- und Konsumaktivität vornimmt. Weiterhin wird von der Existenz eines Staates abstrahiert und man nimmt an, dass keine monetären Effekte vorliegen, d. h. alle Güterpreise sind auf 1 normiert . Die Volkswirtschaft besitzt zu jedem Zeitpunkt Für die Variablen gilt im Folgenden: gewisse Mengen an Kapital (), Arbeit () und Technologie (), aus denen zusammen gemäß einer Produktionsfunktion (), Output () produziert wird:Denkbar wäre auch eine allgemeinere Produktionsfunktion der Form . Tatsächlich ist aber nur technologischer Fortschritt, der den Produktionsfaktor Arbeit erhöht (sogenannter labour augmenting oder Harrod-neutraler Fortschritt), mit der Existenz eines langfristigen Gleichgewichts mit kontinuierlichem technologischen Fortschritt mit konstanter Rate vereinbar. Siehe Barro, Sala-i-Martin: Economic Growth. S. 52 f. und 78 ff.
Das Produkt wird dabei als effektive Arbeit bezeichnet. Für die Produktionsfunktion wird angenommen, dass sie neoklassisch ist, also folgende vier Eigenschaften aufweist: Essentialität der Produktionsfaktoren. Ein Produktionsfaktor wird als essentiell bezeichnet, wenn ohne dessen Einsatz der Output stets 0 beträgt:
Konstante Skalenerträge bzw. Homogenität vom Grad 1 in effektiver Arbeit und Kapital. Ökonomisch bedeutet dies: Ein vermehrter/verminderter Einsatz dieser Produktionsfaktoren führt zu einer im gleichen Verhältnis erhöhten/verminderten Produktion:
Positive und abnehmende Grenzerträge:rechts|Durch die Annahmen implizierter Verlauf der Produktionsfunktion.Die Grenzerträge von Kapital und effektiver Arbeit sind positiv, sinken aber mit zunehmendem Einsatz des jeweiligen Faktors. Wird also beispielsweise mehr effektive Arbeit verwendet, so steigt die Produktion, aber sie steigt weniger, wenn bereits viel effektive Arbeit eingesetzt wird. Mathematisch bedeutet dies, dass die ersten partiellen Ableitungen der Produktionsfunktion nach effektiver Arbeit und Kapital positiv, die jeweiligen zweiten Ableitungen aber negativ sind:
Die sogenannten Inada-BedingungenNach Inada Ken-Ichi, der sie in seinem 1963 erschienenen Artikel On a Two-Sector Model of Economic Growth: Comments and Generalization (Review of Economic Studies 30.2, S. 119–127) formulierte. müssen erfüllt sein, d. h., dass das Grenzprodukt eines jeden Produktionsfaktors bestimmt divergiert, wenn man nur den jeweiligen Faktoreinsatz gegen null streben lässt. Lässt man den jeweiligen Faktoreinsatz hingegen gegen unendlich streben, so konvergiert das Grenzprodukt des Faktors gegen null:
Ökonomisch bedeutet dies, dass bei gegebener Technologie in einer Volkswirtschaft der Output nicht beliebig gesteigert werden kann, indem der Arbeitseinsatz (bzw. Kapitaleinsatz) immer weiter erhöht wird. Somit ist eine positive Wachstumsrate des Einkommens im Falle einer neoklassischen Produktionsfunktion ohne technischen Fortschritt bei Gültigkeit der Inada-Bedingungen langfristig nicht möglich.
In seiner einfachsten Form bezieht sich das Solow-Modell außerdem auf eine geschlossene Volkswirtschaft ohne Staatstätigkeit. Einkommen und Produktion müssen sich in einer solchen Volkswirtschaft entsprechen, die Produktion kann deswegen entweder für Konsum oder für Investitionen verwendet werden (Outputverwendungsgleichung):
Die Bruttoinvestitionen entsprechen ex post außerdem genau dem, was die Volkswirtschaft spart: (Siehe hierzu auch Investition und Sparen). In einer geschlossenen Volkswirtschaft ist somit . Das Sparverhalten der Volkswirtschaft wird durch eine konstante Sparquote () modelliert: , wobei zwischen 0 und 1 liegt. Die Volkswirtschaft spart also in jeder Periode einen gewissen Prozentsatz der gesamten Produktion. Diese über die Zeit konstante Sparquote wird als ein nicht im Modell bestimmter, exogener Parameter angenommen. Die Resultate zusammengefasst gilt: mini|Annähernde Gleichheit und Konstanz von Spar- und Investitionsquote.
mit
Zwei weitere Annahmen betreffen Kapital und Arbeit: Hinsichtlich Kapital wird angenommen, dass in jeder Periode ein gewisser Prozentsatz des bestehenden Kapitals unbrauchbar wird (Abschreibungen), während die arbeitende Bevölkerung mit einer konstanten Wachstumsrate exponentiell wächst.Barro, Sala-i-Martin: Economic Growth. S. 23–28. Weiterhin wird angenommen, dass die Sparquote , aufgrund der unterstellten Gleichheit von Sparen und Investitionen, der Investitionsquote entspricht. Dies ist jedoch keine restriktive Annahme, da in der Realität eine annähernde Gleichheit der beiden Quoten über die Zeit herrscht.
Der Wachstumsprozess
Zur Analyse von Volkswirtschaften mit wachsender Bevölkerung und zur besseren Vergleichbarkeit von Volkswirtschaften unterschiedlicher Größe werden die Modellgrößen nicht absolut, sondern pro Kopf ausgedrückt, wobei Kleinbuchstaben für Pro-Kopf-Größen verwendet werden. Man definiert demgemäß: , wobei die letzte Gleichung aus der Annahme konstanter Skalenerträge folgt.
Unter der Annahme einer konstanten Technologie kann dann mit dem Pro-Kopf-Kapital die Pro-Kopf-Produktionsfunktion definiert werden alsBarro, Sala-i-Martin: Economic Growth. S. 28.Gärtner: Macroeconomics. S. 246. . Diese gibt für jeden Pro-Kopf-Kapitalbestand an, wie viel Output pro Kopf hergestellt wird. Für die Entwicklung des Pro-Kopf-Einkommens ist also der Pro-Kopf-Kapitalbestand entscheidend.
Dessen Entwicklung wird durch drei Faktoren bestimmt: In jeder Periode spart die Volkswirtschaft einen Teil ihres Pro-Kopf-Einkommens: In jeder Periode wird ein Teil des Pro-Kopf-Kapitalstocks: unbrauchbar In jeder Periode wächst die Bevölkerung exponentiell mit einer exogenen Rate , sodass mehr Arbeiter mit Kapital ausgestattet werden müssen, um das Pro-Kopf-Kapital konstant zu halten:
Damit ist die Veränderung des Pro-Kopf-Kapitalstocks jeder Periode gegeben als
Wenn positiv ist, wächst der Pro-Kopf-Kapitalstock und damit das Pro-Kopf-Einkommen. Ist negativ, so schrumpfen Pro-Kopf-Kapital und -Produktion. Formal bedeutet dies: (Kapitalintensität und Pro-Kopf-Einkommen wachsen) (Kapitalintensität und Pro-Kopf-Einkommen schrumpfen) Im langfristigen Gleichgewicht – dem Wachstumsgleichgewichts-Niveau der Volkswirtschaft – muss gelten, dass die Investitionen genau den Abschreibungen (unter Berücksichtigung des Bevölkerungswachstums) des Kapitalmodells entsprechen, d. h., der Kapitalbestand pro Kopf ist über die Zeit konstant ():
Der Pro-Kopf-Kapitalstock , der diese Gleichung erfüllt, ist der Wachstumsgleichgewichts-Kapitalstock () der Volkswirtschaft.Gärtner: Macroeconomics. S. 246 f. Die oben genannten Annahmen an die Produktionsfunktion (konstante Skalenerträge, positive, abnehmende Grenzerträge und die Inada-Bedingungen) garantieren die Existenz eines eindeutigen Wachstumsgleichgewichts.Daron Acemoglu: Introduction to Modern Economic Growth. Princeton University Press, Princeton 2009, S. 29, 33 und 39. mini|400px|Abb. 1. Graphische Darstellung des Solow-Modells mit Bevölkerungswachstum: Unabhängig vom Startpunkt konvergiert die Kapitalintensität zur gleichgewichtigen Kapitalintensität.
Graphisch kann dies in einem Diagramm mit Pro-Kopf-Kapital auf der horizontalen und Pro-Kopf-Einkommen auf der vertikalen Achse dargestellt werden: ist gemäß der Annahmen eine konkave Funktion, ebenso die volkswirtschaftliche Sparfunktion . Die -Kurve ist eine Gerade, die angibt, wie viel gespart werden muss, um den Pro-Kopf-Kapitalstock gerade konstant zu halten und wird deswegen auch als Investitionsbedarfslinie ( requirement line) bezeichnet. Der Schnittpunkt zwischen Sparfunktion und Investitionsbedarfslinie bestimmt das langfristige Gleichgewichtsniveau (Wachstumsgleichgewicht) des Kapitalstocks, bei dem gerade so viel gespart wird, dass der Kapitalstock trotz Abschreibungen und Bevölkerungswachstum konstant bleibt. Wenn dieser Kapitalstock erreicht wird, ist die Wachstumsrate null und Pro-Kopf-Produktion, -Einkommen und -Kapital sind über die Zeit konstant.Gärtner: Macroeconomics. S. 238 f., S. 246 f.