Der Satz von Darmois–Skitowitsch gehört zu den bekanntesten Charakterisierungssätzen der mathematischen Statistik. Er charakterisiert die Normalverteilung (die Gaußsche Verteilung) durch die Unabhängigkeit zweier linearer Formen von unabhängigen Zufallsvariablen. Der Satz wurde 1953 unabhängig voneinander von V. P. SkitowitschV. P. Skitowitsch. On a property of the normal distribution. Proceedings of the USSR Academy of Sciences, Vol. 89 (1953), S. 217–219. und Georges DarmoisG. Darmois. Analyse générale des liaisons stochastiques: étude particulière de l'analyse factorielle linéaire. Review of the International Statistical Institute, Vol. 21, Hefte 1/2 (1953), S. 2–8. https://www.jstor.org/stable/1401511 bewiesen, siehe auchA. M. Kagan, Yu. V. Linnik, C. R. Rao. Characterization Problems of Mathematical Statistics. Wiley, New York, 1973. ISBN 978-0-471-45421-2, wo einige seiner Verallgemeinerungen dargestellt werden.
Formulierung des Satzes Seien unabhängige Zufallsvariablen und seien von null verschiedene Konstanten. Sind die linearen Formen und
unabhängig, so sind die Zufallsvariablen normalverteilt (gaußsch).
Der Darmois–Skitowitsch-Satz ist eine Verallgemeinerung des Kac–Bernstein-Theorems, in dem die Normalverteilung durch die Unabhängigkeit von Summe und Differenz zweier unabhängiger Zufallsvariablen charakterisiert wird.
Ein eng verwandtes Resultat wurde 1970 von C. C. Heyde bewiesen, in dem die Gaußverteilung durch die Symmetrie der bedingten Verteilung einer linearen Form von unabhängigen Zufallsvariablen gegeben eine andere charakterisiert wirdC. C. Heyde. Characterization of the Normal Law by the Symmetry of a Certain Conditional Distribution. Sankhyā, Vol. 32, Nr. 1 (1970), S. 115–118. https://www.jstor.org/stable/25049642.
Verallgemeinerungen auf lokal kompakte abelsche Gruppen Der Darmois–Skitowitsch-Satz wurde in verschiedene Richtungen verallgemeinert. Insbesondere beschäftigen sich viele Arbeiten mit dem Fall, dass unabhängige Zufallsvariablen Werte in einer lokal kompakten abelschen Gruppe annehmen und die Koeffizienten der linearen Formen topologische Automorphismen der Gruppe sind. Eine Übersicht über einen großen Teil dieser Ergebnisse findet sich inGennadiy Feldman, Characterization of Probability Distributions on Locally Compact Abelian Groups, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 273, American Mathematical Society, Providence, RI, 2023. ISBN 978-1-4704-7295-5..
Eine Verallgemeinerung des Darmois-Skitowitsch-Satzes ist das folgende Resultat: Sei eine zweitabzählbare lokalkompakte abelsche Gruppe, die keine Untergruppen enthält, die topologisch zur Kreisgruppe isomorph sind. Seien unabhängige Zufallsvariablen mit Werten in und Verteilungen , deren charakteristische Funktionen nirgendwo verschwinden. Seien topologische Automorphismen von . Sind die linearen Formen
und
unabhängig, so sind alle Verteilungen gaußsche VerteilungenG. M. Feldman. A characterization of the Gaussian distribution on Abelian groups. Probab. Theory Relat. Fields. Vol. 126, Nr. 1 (2003), S. 91–102. https://doi.org/10.1007/s00440-003-0256-4.
Der Beweis des Satzes beruht auf gruppentheoretischen Analogien des Cramérschen Zerlegungsatzes für die Normalverteilung und des Satzes von Marcinkiewicz.
Einzelnachweise
Kategorie:Satz (Stochastik)