Die Zweipunktverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik. Sie ist eine einfache diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die auf einer zweielementigen Menge definiert wird. Bekanntester Spezialfall ist die Bernoulli-Verteilung, die auf definiert ist.

Definition Eine Zufallsvariable auf mit heißt zweipunktverteilt, wenn ist.

Die Verteilungsfunktion ist dann

Eigenschaften Sei im Folgenden . Erwartungswert Der Erwartungswert einer zweipunktverteilten Zufallsgröße ist .

Varianz und weitere Streumaße Für die Varianz gilt .

Demnach ist die Standardabweichung

und der Variationskoeffizient .

Symmetrie Ist , so ist die Zweipunktverteilung symmetrisch um ihren Erwartungswert.

Schiefe Die Schiefe der Zweipunktverteilung ist .

Wölbung und Exzess Der Exzess der Zweipunktverteilung ist

und damit ist die Wölbung

.

Höhere Momente Die -ten Momente ergeben sich als .

Dies kann beispielsweise mit der momenterzeugenden Funktion gezeigt werden.

Modus Der Modus der Zweipunktverteilung ist

Median Der Median der Zweipunktverteilung ist

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion Sind , so ist die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion .

Momenterzeugende Funktion Die momenterzeugende Funktion ist für beliebiges gegeben als .

Charakteristische Funktion Die charakteristische Funktion ist für beliebiges gegeben als .

Konstruktion der Verteilung zu vorgegebenen Parametern Sind Erwartungswert , Standardabweichung und Schiefe vorgegeben, erhält man wie folgt eine passende Zweipunktverteilung:

Summen von zweipunktverteilten Zufallsvariablen Die Zweipunktverteilung ist für nicht reproduktiv. Das heißt, wenn zweipunktverteilt sind, dann ist nicht mehr zweipunktverteilt. Einzige Ausnahme ist der degenerierte Fall mit (bzw. ). Dann handelt es sich um eine Dirac-Verteilung auf (bzw. auf ), die entsprechend reproduktiv und sogar unendlich teilbar ist.

Beziehung zu anderen Verteilungen Beziehung zur Bernoulli-Verteilung Eine Zweipunktverteilung auf ist eine Bernoulli-Verteilung.

Beziehung zur Rademacher-Verteilung Die Rademacher-Verteilung ist eine Zweipunktverteilung mit .

Literatur Thomas Mack: Versicherungsmathematik. 2. Auflage. Verlag Versicherungswirtschaft, 2002, ISBN 388487957X.

Kategorie:Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung