Heegner-Punkt

340px|mini|Die Lage der Zahlen in der Ebene wird durch ihren Real- und Imaginärteil, auf der Re- bzw. Im-Achse eingetragen, bestimmt, wodurch jeder komplexen Zahl ein Punkt entspricht – ganz analog dazu, wie jede reelle Zahl als Punkt einer Zahlengeraden gedeutet werden kann. Das Bild zeigt die beiden Heegner-Punkte und in der oberen Halbebene.

Heegner-Punkte (benannt nach Kurt Heegner) sind Zahlen, die quadratische Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten lösen und die mit Punkten auf geometrischen Figuren, nämlich Modulkurven, verknüpft werden können. Die mittels der Verknüpfung gegebenen Punkte auf Modulkurven werden ebenfalls Heegner-Punkte genannt und sind Gegenstand der arithmetischen Geometrie. Sie spielen eine bedeutende Rolle in der Theorie der elliptischen Kurven und in der Klassenkörpertheorie. Heegner-Punkte unterscheiden sich von den namensähnlichen Heegner-Zahlen.

Die als Heegner-Punkte bezeichneten Lösungen der quadratischen Gleichung sind komplexe Zahlen mit ausschließlich positivem Imaginärteil. Beispielsweise ist die Zahl ein Heegner-Punkt, da sie den positiven Imaginärteil besitzt und die Gleichung erfüllt. Die Lösungen werden verwendet, um Punkte zu erzeugen, die die komplizierteren Gleichungen von Modulkurven oder elliptischen Kurven erfüllen. Der Mehrwert dieser Methode liegt darin, dass Heegner-Punkte anhand der quadratischen Gleichung einfach bestimmt werden können. Die damit erzeugten Punkte geben letztlich einige Auskunft über Fragestellungen aus der Zahlentheorie. Kurt Heegner verwendete sie, um Fragen der Zerlegung von Zahlen in elementarere multiplikative Bausteine nachzugehen, die analog zur Theorie der Primzahlen sind.

Indirekt sind Heegner-Punkte in Ideen involviert, die Kreiszahl auf viele Stellen nach dem Komma zu ermitteln. Sie sind ein Ausgangspunkt für den Chudnovsky-Algorithmus, mit dessen Hilfe Stand 2024 über 200 Billionen Dezimalstellen von berechnet wurden.

Besondere Prominenz erhalten Heegner-Punkte im Themenkreis rund um die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer, eines der sieben Millennium-Probleme der Mathematik. Sie spielten die Schlüsselrolle bei der Frage, warum diese bis heute im Allgemeinen unbewiesene Hypothese nur in ganz bestimmten Fällen mit den bisher errungenen Erkenntnissen bewiesen werden konnte. Dies sind genau die Fälle, in denen die zugehörigen elliptischen Kurven – dies sind die Gegenstände der Vermutung – einen „unmittelbaren Bezug“ zu Heegner-Punkten haben. Über die Betrachtung unendlich vieler Heegner-Punkte gleichzeitig, sogenannter Heegner-Systeme, konnte Victor Kolyvagin in Kombination mit Resultaten von Benedict Gross und Don Zagier im Jahr 1988 zeigen, dass die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer im Falle der analytischen Ränge und wahr ist.

Bis heute gelten Heegner-Punkte als Objekte mathematischen Interesses, auch bei der Verwendung von Algorithmen, also rechnerischen Verfahren. Wichtige Beiträge zu deren Erforschung lieferten Bryan Birch, Henri Darmon, Peter Swinnerton-Dyer, Benedict Gross, Kurt Heegner, Winfried Kohnen, Victor Kolyvagin, Barry Mazur, Heinrich Weber, Zhang Wei, Don Zagier und Shou-Wu Zhang.

Grundlegende Einordnung

Über Kurven und rationale Punkte

mini|hochkant=1.3|Schaubild des Kreises

Eine algebraische Kurve ist im Prinzip eine Menge von Punkten, die eine gemeinsame algebraische Relation erfüllen. Das bedeutet, dass es eine Gleichung zu Null gibt, in der ausschließlich addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert wird, die von allen Punkten erfüllt wird. Ein Beispiel ist die Gleichung ( wird lediglich mit sich selbst multipliziert und anschließend wird 1 vom Ergebnis subtrahiert), die genau von gelöst wird. Somit bildet die Menge die „Vorstufe“ einer Kurve, obgleich zwei Punkte noch nicht eine „kurvige“ Anschauung hervorrufen.

Ein erstes nicht-triviales und häufig genanntes Beispiel einer Kurve ist der Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt  in der Zahlenebene, der genau durch die Punkte gegeben ist, welche die Relation erfüllen. Es können also auch Punkte mit mehr als einer Koordinate Kurven bilden, und tatsächlich wird es auch erst hier „reichhaltiger“. Dass die reellen Lösungen der Gleichung einen Kreis bilden, kann mit dem Satz des Pythagoras bewiesen werden. Von Interesse ist, dass eine eigentlich geometrische Figur wie der Kreis von einer algebraischen Relation herrührt. Auch anderen Gebilden wie Geraden, Ebenen, Hyperbeln etc. liegen algebraische Gleichungen zugrunde.

Während der Kreis erst durch Betrachtung aller reellen Zahlen „lückenlos“ entstehen kann, so liegt etwa auf dem Kreis, da

ist es für die Zahlentheorie von Interesse, Punkte auf Kurven zu finden, die ganz besonders „einfach“ sind. Damit sind zum Beispiel rationale Punkte gemeint, die neben der ohnehin schon restriktiven Kurvenlage die Eigenschaft haben sollen, dass ihre Koordinaten durch Quotienten ganzer Zahlen beschrieben werden können. So ist es eine klassische Frage der Zahlentheorie, welche rationalen Punkte auf dem Kreis liegen. Zum Beispiel ist kein rationaler Punkt, da man weiß, dass die Quadratwurzel aus 2 keine rationale Zahl ist. Beispiele für rationale Punkte sind , da

aber auch sowie . Diese Punkte leiten sich aus den pythagoreischen Tripeln ab, also nicht-trivialen ganzen Zahlen mit . Es kann über elementare Methoden gezeigt werden, dass es unendlich viele primitive pythagoreische Tripel gibt, also solche, die nicht ganze Vielfache anderer Tripel sind, weshalb der Kreis tatsächlich „übersät“ mit rationalen Punkten ist, siehe dazu auch in den Artikel Gruppe der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis.Joseph Silverman, John Tate: Rational Points on Elliptic Curves. Springer, S. 11. Allgemein gelten quadratische Kurven hinsichtlich rationaler Punkte als weitgehend verstanden.Joseph Silverman, John Tate: Rational Points on Elliptic Curves. Springer, S. 15.

Bereits durch dieses Beispiel wird eine Synthese aus Geometrie (Figuren, hier ein Kreis), Algebra (Gleichungen, die nur Grundrechenarten verwenden) und Zahlentheorie (rationale Zahlen) erkennbar.

Elliptische Kurven

mini|hochkant=1.3|Reelles Schaubild der elliptischen Kurve . Zu sehen sind der Querschnitt eines geschlossenen Schlauchs und ein scheinbar offener Schlauch. Fügt man jedoch die beiden in die unendliche Ferne zeigenden Stücke gedanklich zusammen, ergibt sich aus topologischer Sicht nach Hinzufügen eines unendlich fern liegenden zusammenschließenden Punktes (der formal als Lösung hinzugezählt wird) ein zweiter kreisartiger Abschnitt. Beide „Kreise“ sind Querschnitt einer ganzen Fläche von Lösungen, die bei Betrachtung beliebiger komplexer Zahlen hinzukommen würden. Der Querschnitt wurde jedoch nicht im drei-, sondern im vierdimensionalen Raum gemacht (siehe unten).

Bei Weitem nicht so zugänglich sind sogenannte elliptische Kurven (über den rationalen Zahlen),Joseph Silverman, John Tate: Rational Points on Elliptic Curves. Springer, S. 17. die allgemein in der Form mit rationalen Zahlen beschrieben werden können. Während der geometrischen Figur des Kreises eine quadratische Gleichung zugrunde lag, handelt es sich bei einer elliptischen Kurve um eine kubische Gleichung (also mit Termen hoch 3). Das Besondere an elliptischen Kurven ist, dass man aus zwei bereits bekannten (rationalen) Punkten und über eine Verknüpfung einen neuen rationalen Punkt berechnen kann, genauso wie man aus zwei ganzen Zahlen mit der Addition eine neue ganze Zahl erzeugen kann.Joseph Silverman, John Tate: Rational Points on Elliptic Curves. Springer, S. 18. Bei der Addition eines rationalen Punktes zu sich selbst können zwei Situationen eintreten: Entweder der betrachtete Punkt ist von endlicher Ordnung und schließt einen endlichen Zyklus, d. h., irgendwann tritt die Situation ein und es geht von vorne los, oder es entstehen bis ins Unendliche immer neue Punkte, was vergleichbar mit der Erzeugung aller natürlicher Zahlen durch ist. In diesem Fall sagt man, dass unendliche Ordnung hat. Gelegentlich spricht man bei Punkten endlicher Ordnung auch von trivialen und bei welchen mit unendlicher Ordnung auch von nicht-trivialen Punkten.

Die Theorie der elliptischen Kurven ist äußerst umfangreich,Joseph H. Silverman: The Arithmetic of Elliptic Curves. 2nd Edition, Springer, S. xviii. zahlentheoretisch im Zusammenhang mit dem großen Satz von Fermat von BedeutungGary Cornell, Joseph H. Silverman, Glenn Stevens: Modular Forms and Fermat’s Last Theorem. Springer, S. 1. und wird von Mathematikern wie Henri Cohen auf den Umfang vieler tausend Seiten (in moderner mathematischer Sprache) geschätzt.Henri Cohen: Number theory. Volume I: Tools and Diophantine Equations. Springer, 2007, S. 465. Trotz ihrer Strukturen sind manche ihrer Eigenschaften bis heute nicht geklärt. So kennt man bis heute keinen allgemeinen Algorithmus, der endlich viele rationale Punkte liefert, mit deren Hilfe alle anderen rationalen Punkte auf der Kurve durch Verknüpfung gewonnen werden können (eine positive Antwort auf die starke Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer würde jedoch einen solchen Algorithmus liefern).Henri Darmon: Rational points on modular elliptic curves. Regional Conference Series in Mathematics, American Mathematical Society, Number 101, S. 8.Joseph H. Silverman: The Arithmetic of Elliptic Curves. 2nd Edition, Springer, S. 309. Jedoch können Heegner-Punkte in manchen Fällen dabei helfen, nicht-triviale rationale Punkte zu erzeugen.

Was elliptische Kurven über den rationalen Zahlen, neben ihrer Fähigkeit einer Punktaddition, so in den Fokus des Interesses rückt, ist die Tatsache, dass sie die einzigen Kurven sind, die endlich, aber auch unendlich viele rationale Punkte haben können. Elliptische Kurven haben nämlich das Geschlecht und nach der Vermutung von Mordell, bewiesen von Gerd Faltings, haben Kurven von Geschlecht mit einem rationalen Punkt bereits unendlich viele rationale Punkte, während Kurven von Geschlecht stets nur endlich viele rationale Punkte haben können.Gerd Faltings: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern. Inventiones Mathematicae 73, 349–366, 1983. Für seine Leistung wurde Faltings 1986 mit der Fields-Medaille geehrt.

Parametrisierung von elliptischen Kurven

mini|hochkant=1.3|Durch bzw. wird der Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt im Ursprung in der reellen bzw. komplexen Ebene parametrisiert. In oberem Schaubild ist . mini|hochkant=1.3|Über den komplexen Zahlen kann die Punktmenge einer elliptischen Kurve als Torus (Donut) dargestellt werden. Dabei wurde jedoch die (vormals stark verzerrte) Fläche des Lösungsgebildes der Gleichung stetig in die gezeigte idealisierte Form gebracht. Dabei ist zu beachten, dass die ursprüngliche Punktmenge eine (reell) zweidimensionale Fläche (komplex eindimensional) und Teilmenge des (reell) vierdimensionalen Raums war, jedoch nach der Transformation auf dem Bild zur Veranschaulichung in den dreidimensionalen Raum gesetzt wurde.Neal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography. Second Edition, Springer, S. 171–173. Die Eigenschaft einer elliptischen Kurve, über den komplexen Zahlen ein Donut zu sein, kann dadurch erklärt werden, wie sich diese parametrisieren lässt.Neal Koblitz: Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms. Springer-Verlag New York, S. 14 ff.