In der Mathematik ist ein Lipschitz-Gebiet – oder auch Gebiet mit Lipschitz-Rand genannt – ein Gebiet im euklidischen Raum, dessen Rand in dem Sinne „ausreichend regulär“ ist, dass dieser lokal der Graph einer Lipschitz-stetigen Funktion ist. Anwendung finden Lipschitz-Gebiete in der Theorie partieller Differentialgleichungen. Der Begriff ist nach dem deutschen Mathematiker Rudolf Lipschitz benannt.
Die hier beschriebenen Gebiete werden auch als starke Lipschitz-Gebiete bezeichnet, um eine Verwechselung mit den schwachen Lipschitz-Gebieten zu verhindern, die eine allgemeinere Klasse von Gebieten darstellen.
Definition Ein Gebiet des euklidischen Raums heißt (starkes) Lipschitz-Gebiet, falls zugleich positive Zahlen und und eine lokal endliche Überdeckung des Randes existieren, so dass für jedes eine reellwertige Funktion von Variablen existiert, so dass die folgenden Bedingungen gelten: 1. Für eine Zahl hat jede Teilfamilie von mit Elementen die leere Menge als gemeinsame Schnittmenge. 2. Für jedes Paar an Punkten mit existiert ein , so dass
gilt. 3. Jede Funktion erfüllt eine Lipschitz-Bedingung
mit der Lipschitz-Konstanten . 4. Für ein kartesisches Koordinatensystem in ist die Menge beschrieben durch .
Beschränkte Lipschitz-Gebiete Falls ein beschränktes Gebiet ist, dann vereinfacht sich obige Definition zu einer einzigen Bedingung. Das beschränkte Gebiet ist genau dann ein Lipschitz-Gebiet, falls der Rand lokal ein Lipschitz-Rand ist. Das bedeutet, dass für jeden Randpunkt eine Umgebung existiert, so dass die Menge der Graph einer lipschitzstetigen Funktion ist.
Eigenschaften Jedes -Gebiet mit ist auch ein Lipschitz-Gebiet. Nach dem Satz von Rademacher können an einem Lipschitz-Rand fast überall Tangentialvektoren gefunden werden.
Beispiele und Gegenbeispiele
Die offene Kreisfläche ist ein -Gebiet und damit auch ein Lipschitz-Gebiet. Die Fläche eines offenen Rechtecks ist ein Lipschitz-Gebiet, aber kein -Gebiet. Das beschränkte Gebiet
ist kein Lipschitz-Gebiet, da der Rand des Gebietes in einer Umgebung von nicht als Graph einer Lipschitz-stetigen Funktion dargestellt werden kann. Geschlitzte Flächen, wie zum Beispiel die geschlitzte Kreisfläche , wobei ein Basisvektor der kanonischen Basis des ist, sind keine Lipschitz-Gebiete.
Theorie partieller Differentialgleichungen In der Theorie der Sobolev-Räume tritt der Begriff des Lipschitz-Gebietes auf. So fordern beispielsweise einige Varianten des Einbettungssatzes von Sobolev, dass die untersuchten Gebiete Lipschitz-Gebiete sind. Somit sind auch viele Definitionsbereiche Lipschitz-Gebiete, die im Kontext gewisser partieller Differentialgleichungen und Variationsproblemen untersucht werden.
Einzelnachweise
Kategorie:Funktionalanalysis Kategorie:Theorie partieller Differentialgleichungen