Ein Birnbaum-Orlicz-Raum (auch Orlicz-Raum) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis und ein Funktionenraum, der die Lp-Räume verallgemeinert. Er ist benannt nach den polnischen Mathematikern Zygmunt Wilhelm Birnbaum und Władysław Orlicz.Über die Verallgemeinerung des Begriffes der zueinander konjugierten Potenzen Studia Mathematica 3, S. 1–67, 1931.
Definition Orlicz-Funktion Sei ein σ-endliches Maß auf einer Menge . Eine konvexe Funktion nennt man Orlicz-Funktion (auch Young-Funktion), wenn Folgendes gilt:
und
.
Orlicz-Norm Sei nun die rechtsinverse Funktion zu , das heißt, es gilt . Wir definieren die Komplementärfunktion zu als das Integral über die rechtsinverse Funktion ihrer Ableitung:
.
Die Orlicz-Norm ist dann gegeben durch:
.
Birnbaum-Orlicz-Raum Der Birnbaum-Orlicz-Raum ist definiert als
(oder kurz als ), also als der Raum aller messbaren Funktionen, die eine endliche Orlicz-Norm besitzen.
Luxemburg-Norm Eine äquivalente Norm namens Luxemburg-Norm erhält man durch
.
Für eine Zufallsvariable ergibt sich daraus folgende Norm:
.
Eigenschaften Für und mit gilt die Inklusionskette . Nimmt man , so erhält man die Lp-Räume. Ein Birnbaum-Orlicz-Raum ist ein Banach-Raum.
Einzelnachweise
Kategorie:Funktionalanalysis Kategorie:Analysis Kategorie:Normierter Raum