Kompakte Gruppen sind in der Mathematik topologische Gruppen, deren Topologie kompakt ist. Kompakte Gruppen verallgemeinern endliche Gruppen mit der diskreten Topologie und viele Eigenschaften lassen sich übertragen. Für kompakte Gruppen gibt es eine gut verstandene Darstellungstheorie.
rechts|mini|Der Einheitskreis in der komplexen Ebene ist mit der komplexen Multiplikation eine Lie-Gruppe Im Folgenden setzen wir voraus, dass alle topologischen Gruppen Hausdorffräume sind.
Kompakte Lie-Gruppen
Die Lie-Gruppen bilden eine Klasse topologischer Gruppen und für kompakte Lie-Gruppen existiert eine besonders gut entwickelte Theorie. Grundlegende Beispiele kompakter Lie-Gruppen sind:Hall 2015, Abschnitt 1.2 die Kreisgruppe und die Torusgruppen die orthogonalen Gruppen und die speziellen orthogonalen Gruppen sowie deren Überlagerungen und die Spin-Gruppen die unitären Gruppen und die speziellen unitären Gruppen die symplektischen Gruppen die kompakten Formen der exzeptionellen Lie-Gruppen , , , und .
Das Klassifikationstheorem für kompakte Lie-Gruppen besagt, dass diese Liste bis auf endliche Erweiterungen und Überlagerungsgruppen vollständig ist (und bereits Redundanzen enthält). Diese Klassifikation wird im nachfolgenden Absatz näher beschrieben.
Klassifikation Für eine gegebene kompakte Lie-Gruppe sei die Zusammenhangskomponente der Eins, diese ist ein zusammenhängender Normalteiler. Die Quotientengruppe ist die Gruppe der Komponenten, die wegen der Kompaktheit von endlich sein muss. Wir haben damit eine endliche Erweiterung:
Für zusammenhängende, kompakte Lie-Gruppen haben wir folgendes Resultat:Bröcker 1985, Kapitel V, Abschnitte 7 und 8 Satz: Jede zusammenhängende, kompakte Lie-Gruppe ist (bis auf Isomorphie) der Quotient des Produktes einer zusammenhängenden, einfach zusammenhängenden, kompakten Lie-Gruppe und einer Torusgruppe nach einer endlichen zentralen Untergruppe.
Damit kann die Klassifikation der zusammenhängenden Lie-Gruppen im Prinzip auf die Kenntnis der kompakten, zusammenhängenden, einfach zusammenhängenden Lie-Gruppen und ihrer Zentren zurückgeführt werden. (Für weitere Informationen über das Zentrum siehe den unten stehenden Abschnitt „Fundamentalgruppe und Zentrum“.)
Jede einfach zusammenhängende, kompakte Lie-Gruppe ist das Produkt einfach zusammenhängender, kompakter und einfacher Gruppen, von denen jede zu genau einer aus der folgenden Aufzählung isomorph ist: die kompakte, symplektische Gruppe die spezielle, unitäre Gruppe die Spin-Gruppe eine der exzeptionellen Gruppen , , , oder .
Die Bedingungen an wurden gestellt, um Isomorphismen zwischen den Gruppen der Liste auszuschließen. Für jede dieser Gruppen ist das Zentrum bekannt. Die Klassifikation erfolgt über zugeordnete Wurzelsysteme (für einen festen maximalen Torus, siehe unten), die ihrerseits mittels Dynkin-Diagrammen klassifiziert werden können.
Die Klassifikation der einfach zusammenhängenden, kompakten Lie-Gruppen ist dasselbe wie die Klassifikation der komplexen, halbeinfachen Lie-Algebren. Ist nämlich eine einfach zusammenhängende, kompakte Lie-Gruppe, so ist die Komplexifizierung der zugehörigen Lie-Algebra halbeinfach. Umgekehrt hat jede komplexe halbeinfache Lie-Algebra eine reelle Form, die isomorph zu einer einfach zusammenhängenden, kompakten Lie-Gruppe ist.
Maximale Tori und Wurzelsysteme Die Hauptidee in der Untersuchung einer zusammenhängenden, kompakten Lie-Gruppe ist das Konzept des maximalen Torus, eine Untergruppe , die isomorph zu einem Produkt mehrerer Kopien von ist, und in keiner weiteren Untergruppe dieser Art enthalten ist. Ein typisches Beispiel ist die Untergruppe der Diagonalmatrizen in . Der sogenannte Satz vom maximalen Torus ist ein grundlegendes Resultat, nach dem jedes Element aus in einem maximalen Torus liegt und je zwei maximale Tori zueinander konjugiert sind.
Ein maximaler Torus in einer zusammenhängenden, kompakten Lie-Gruppe spielt eine ähnliche Rolle wie die Cartan-Unteralgebra einer komplexen, halbeinfachen Lie-Algebra. Insbesondere kann man nach Wahl eines maximalen Torus ganz ähnlich wie in der Theorie der halbeinfachen Lie-Algebren ein Wurzelsystem und eine Weyl-Gruppe definieren.Hall 2015, Kapitel 11 Diese Strukturen spielen dann eine wesentliche Rolle in der Klassifikation der zusammenhängenden, kompakten Lie-Gruppen (wie oben beschrieben) und in ihrer Darstellungstheorie (siehe unten).
In der Klassifikation der einfach zusammenhängenden, kompakten Lie-Gruppen treten folgende Wurzelsysteme auf:Hall 2015 Abschnitt 7.7 Die spezielle unitäre Gruppe gehört zum Wurzelsystem . Die ungerade Spin-Gruppe gehört zum Wurzelsystem . Die kompakte, symplektische Gruppe gehört zum Wurzelsystem . Die gerade Spin-Gruppe gehört zum Wurzelsystem . Die exzeptionellen, kompakten Lie-Gruppen gehören zu den fünf exzeptionellen Wurzelsystemen , , , oder .
Fundamentalgruppe und Zentrum Es ist wichtig, von einer zusammenhängenden, kompakten Lie-Gruppe zu wissen, ob sie einfach zusammenhängend ist, und falls nicht, ihre Fundamentalgruppe zu bestimmen. Für kompakte Lie-Gruppen gibt es dazu zwei grundlegende Ansätze. Der erste betrifft die klassischen, kompakten Gruppen , , und und verwendet Induktion nach . Der zweite Ansatz greift auf die Wurzelsysteme zurück und funktioniert für alle zusammenhängenden, kompakten Lie-Gruppen.
In obiger Klassifikation ist es weiterhin wichtig, das Zentrum der zusammenhängenden, kompakten Lie-Gruppe zu kennen. Die Zentren der klassischen Gruppen können leicht „per Hand“ berechnet werden, in den meisten Fällen handelt es sich einfach um geeignete Vielfache der Identität. Die Gruppe bildet hier eine Ausnahme, da sie als abelsche Gruppe mit ihrem Zentrum übereinstimmt, das daher Elemente enthält, die nicht Vielfaches der Identität sind. Zum Beispiel besteht das Zentrum von aus den -ten Einheitswurzeln mal der Identität, das ist eine zyklische Gruppe der Ordnung .
Im Allgemeinen kann das Zentrum mittels des Wurzelsystems und dem Kern der Exponentialabbildung des maximalen Torus beschrieben werden.Hall 2015, Abschnitt 13.8 Diese allgemeine Methode zeigt beispielsweise, dass die einfach zusammenhängende, kompakte Gruppe zum exzeptionellen Wurzelsystem triviales Zentrum hat. Damit ist die kompakte -Gruppe eines der wenigen Beispiele kompakter Lie-Gruppen, die gleichzeitig einfach zusammenhängend sind und triviales Zentrum haben, die anderen sind und .
Weitere Beispiele Zu den kompakten Gruppen, die keine Lie-Gruppen sind und daher nicht die Struktur einer Mannigfaltigkeit haben, zählen das Solenoid und die additive Gruppe der p-adischen ganzen Zahlen und daraus konstruierte Gruppen. In der Tat ist jede proendliche Gruppe kompakt. Dies bedeutet, dass Galois-Gruppen kompakt sind, ein grundlegendes Resultat der Theorie algebraischer Erweiterungen endlichen Grades.
Pontrjagin-Dualität liefert ein reiches Arsenal an kommutativen, kompakten Gruppen. Diese sind die Dualgruppen diskreter kommutativen Gruppen.
Das haarsche Maß Kompakte Gruppen tragen ein haarsches Maß,André Weil: L’intégration dans les groupes topologiques et ses applications, Actualités Scientifiques et Industrielles, Band 869, Hermann-Verlag 1941 das sowohl bzgl. Links- als auch Rechts-Tranlsationen invariant ist, denn die modulare Funktion bildet die Gruppe auf eine kompakte Untergruppe von ab, muss also konstant gleich 1 sein. Mit anderen Worten, kompakte Gruppen sind unimodular. Daher kann das haarsche Maß leicht auf ein Wahrscheinlichkeitsmaß normiert werden, wie etwa auf der Kreisgruppe.
Ein solches haarsches Maß kann in vielen Fällen leicht berechnet werden. Das haarsche Maß auf den orthogonalen Gruppen war schon Adolf Hurwitz bekannt, und im Falle von Lie-Gruppen kann es als invariante Differentialform beschrieben werden. In proendlichen Gruppen gibt es viele Untergruppen mit endlichem Index, sodass das haarsche Maß einer Nebenklasse gleich dem reziproken Wert des Index ist. Daher können Integrale bzgl. des haarschen Maßen oft direkt berechnet werden, was in der Zahlentheorie oft Anwendung findet.
Ist eine kompakte Gruppe mit dem haarschen Maß , so liefert der Satz von Peter-Weyl eine Zerlegung des Hilbertraums als orthogonale Summe endlichdimensionaler Unterräume, auf denen die Gruppe als irreduzible Matrixdarstellung operiert.
Darstellungstheorie Die Darstellungstheorie einer kompakten Gruppe (nicht notwendigerweise eine Lie-Gruppe und auch nicht notwendigerweise zusammenhängend) wurde durch den Satz von Peter-Weyl begründet.F. Peter, H. Weyl: Die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe, Math. Ann. (1927), Band 97, Seiten 737–755 Hermann Weyl baute dies auf Basis der maximalen Tori zu einer detaillierten Charakter-Theorie aus.Hall 2015, Teil III Die daraus entstandene weylsche Charakterformel war ein einflussreiches Resultat für die Mathematik des zwanzigsten Jahrhunderts. Die Kombination des Satzes von Peter-Weyl und der weylschen Charakterformel führte Weyl zu einer vollständigen Klassifikation der Darstellungen zusammenhängender Lie-Gruppen, die im nachfolgenden Abschnitt beschrieben wird.
Aus Weyls Arbeit und dem Satz von Cartan über Lie-Gruppen erhält man einen Überblick über die Darstellungstheorie kompakter Gruppen . Nach dem Satz von Peter-Weyl liegen die Bilder der irreduziblen, unitären Darstellungen von in den unitären Gruppen (endlicher Dimension) und sind wegen Kompaktheit abgeschlossene Untergruppen der unitären Gruppe. Nach dem Satz von Cartan muss das Bild eine Lie-Untergruppe der unitären Gruppe sein. Wenn selbst keine Lie-Gruppe ist, muss einen nicht-trivialen Kern haben. Auf diese Weise kann man ein inverses System von endlichdimensionalen unitären Darstellungen mit immer kleiner werdendem Kern konstruieren, sodass schließlich mit einem inversen Limes kompakter Lie-Gruppen identifiziert wird, ist somit eine Pro-Lie-Gruppe. Dass man so im Limes eine treue Darstellung von erhält, ist eine weitere Folgerung aus dem Satz von Peter-Weyl.
Der unbekannte Teil der Darstellungstheorie kompakter Gruppen wird so, grob gesprochen, auf die komplexe Darstellungstheorie endlicher Gruppen zurückgeführt. Diese Theorie ist zwar sehr umfangreich, aber qualitativ gut verstanden.
Darstellungstheorie einer zusammenhängenden, kompakten Lie-Gruppe Einige einfache Fälle der Darstellungstheorie kompakter Lie-Gruppen können per Hand berechnet werden, so etwa die Darstellungen der Rotationsgruppe oder der speziellen unitären Gruppen und . Siehe auch die dazu parallele Darstellungstheorie der Lie-Algebren.
In diesem Paragraphen betrachten wir eine feste, zusammenhängende, kompakte Lie-Gruppe und einen darin fest gewählten maximalen Torus.
Darstellungstheorie von T Da kommutativ ist, wissen wir nach dem Lemma von Schur, dass eine irreduzible Darstellung von eindimensional sein muss: . Da zusätzlich kompakt ist, muss sogar nach abbilden.
Zur konkreten Beschreibung dieser Darstellungen sei die Lie-Algebra von und wir schreiben Punkte als
Bezüglich solcher Koordinaten nimmt die Form
für ein lineares Funktional auf . Da die Exponentialabbildung nicht injektiv ist, definiert nicht jedes lineare Funktional auf diese Weise eine Abbildung . Sei nämlich der Kern der Exponentialabbildung , wobei das neutrale Element von sei (wir haben hier die Exponentialabbildung mit dem Faktor skaliert, um ihn an anderen Stellen zu vermeiden). Dann muss , um vermöge obiger Formel eine wohldefinierte Abbildung zu ergeben, die Bedingung
erfüllen, wobei die Menge der ganzen Zahlen sei.Hall 2015, Satz 12.9 Ein lineares Funktional, das diese Bedingung erfüllt, heißt ein analytisch ganzzahliges Element. Diese Ganzzahligkeitsbedingung korrespondiert, wenn auch nicht in allen Details, zu analogen Ganzzahligkeitsbedingungen aus der Theorie der halbeinfachen Lie-Algebren.Hall 2015, Abschnitt 12.2