Satz von Dirichlet (Primzahlen)

mini|hochkant=0.8|Peter Gustav Lejeune Dirichlet

Der Satz von Dirichlet, gelegentlich auch Dirichletscher Primzahlsatz, benannt nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet, ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Er besagt, dass eine aufsteigende arithmetische Progression unendlich viele Primzahlen enthält, wenn dies nicht aus trivialen Gründen, etwa bei , unmöglich ist. Eine arithmetische Progression ist dabei eine Folge ganzer Zahlen, sodass zwei aufeinanderfolgende Glieder stets dieselbe Differenz haben, wie zum Beispiel

Ganz allgemein ist eine solche Folge für eine ganze Zahl und eine natürliche Zahl gegeben durch

Die Folge ist dann im Sinne des Satzes von Dirichlet „trivial“, wenn und einen gemeinsamen Teiler haben, der größer als ist. Den ersten vollständigen Beweis der Aussage lieferte Dirichlet im Jahr 1837. Dabei wurden erstmals rein analytische Methoden für die Gewinnung eines zahlentheoretischen Satzes verwendet. Die Vermutung über Primzahlen in arithmetischen Folgen stammt von Adrien-Marie Legendre aus dem Jahr 1798, der in seinem Lehrbuch der Zahlentheorie einen fehlerhaften Beweis gab, wie Dirichlet darlegte. Anwendung findet der Satz innerhalb der Zahlentheorie, etwa im Beweis des Satzes von Hasse-Minkowski.

Bezogen auf das Dezimalsystem sagt der Satz aus, dass es jeweils unendlich viele Primzahlen gibt, die auf eine 1, auf eine 3, auf eine 7 und auf eine 9 enden. Allgemeiner kann man sagen: Gibt es zwei verschiedene Primzahlen, die in einem Zahlensystem auf die gleiche Ziffernfolge enden, so gibt es unendlich viele weitere Primzahlen, die in diesem Zahlensystem auf diese Ziffernfolge enden. Etwa gibt es unendlich viele Primzahlen, die auf die Ziffern 419 enden. Die ersten Primzahlen mit dieser Eigenschaft sind und .

Dirichlets Beweis war ein wichtiger Schritt zur Begründung der analytischen Zahlentheorie und führte zur Etablierung der Dirichletschen L-Funktionen, der Dirichlet-Charaktere und der analytischen Klassenzahlformel für quadratische Zahlkörper. Die Einführung der L-Funktion geschah in Analogie zu Leonhard Eulers Einführung der Zetafunktion bei der Primzahlverteilung. Tatsächlich konnte Dirichlet eine etwas stärkere Formulierung als die bloße Unendlichkeitsaussage gewinnen, denn er lieferte eine Verallgemeinerung des Satzes von Euler über Primzahlen: Addiert man also die Kehrwerte aller Primzahlen in der betroffenen arithmetischen Progression, ist das Ergebnis Unendlich. Diese Aussage impliziert die Unendlichkeit der entsprechenden Primzahlmenge, aber es existieren ganz allgemein unendlich lange Zahlfolgen, die in ihrer Kehrwertsumme beschränkt sind. Dirichlet zeigte dafür als entscheidenden Zwischenschritt das Nicht-Verschwinden der Dirichletschen L-Funktionen an der Stelle . Hierbei wurde die Bedeutung des Nullstellenverhaltens von L-Funktionen in Form sog. Nichtverschwindungssätze für die Zahlentheorie erstmals offenkundig.

Im Laufe der Zeit konnte der Satz immer weiter verbessert werden. So schätzt etwa der Primzahlsatz für arithmetische Progressionen die genaue Anzahl der Primzahlen in einer arithmetischen Folge, die eine obere Schranke nicht überschreiten. Eine Folgerung ist, dass bei fester Wahl von in unterschiedlichen Folgen stets asymptotisch gleich viele Primzahlen liegen. Der Fehlerterm in dieser beschriebenen Primzahlverteilung ist Gegenstand des Satzes von Siegel-Walfisz, des Satzes von Bombieri und Winogradow und der Vermutung von Elliott und Halberstam. Unter Annahme der verallgemeinerten Riemannschen Vermutung kann dieser Fehler zudem sehr deutlich verbessert werden.

Eine Verallgemeinerung ist der Tschebotarjowsche Dichtigkeitssatz.

Notation

Es werden durchweg folgende Bezeichnungen verwendet:

, , , und bezeichnen die natürlichen, ganzen, rationalen, reellen bzw. komplexen Zahlen. Die Notation für asymptotische Beschränktheit durch Landau-Symbole: Es bedeutet , dass (wobei meist ). Analog wird mit gebraucht. Ferner bedeutet sogar . Es bezeichnet hierbei den Limes superior. Es bedeutet für schließlich

Das Symbol bedeutet, dass sich dem Wert 1 unter der Bedingung nähert und ihm beliebig nahe kommt, etwa durch Es bezeichnen durchgängig und den Real- bzw. Imaginärteil der komplexen Zahl . Wie üblich ist durchgängig der natürliche Logarithmus von , und ist die natürliche Exponentialfunktion. Es bezeichnen den Integrallogarithmus und die Primzahl zählende Funktion. Allgemeiner ist die Anzahl aller Primzahlen , sodass durch teilbar ist. Teilt die Zahl die Zahl , so wird dies mit notiert. Es bedeutet die Schreibweise , dass , dass also die Zahl teilt, siehe auch Modulo. Es bezeichnet die Riemannsche Zeta-Funktion. Zudem wird mit reellen und geschrieben. Es bezeichnet die Eulersche Phi-Funktion. Es bezeichnet das Summenzeichen und das Produktzeichen.

Aussage des Satzes

Primzahlen

mini|hochkant=0.8|Zusammengesetzte Zahlen können durch echte „Rechtecke“ ausgedrückt werden (rot), während bei Primzahlen nur eine simple Aneinanderreihung möglich ist (blau)

Im Zentrum der Zahlentheorie, jenes Zweiges der Mathematik, der sich mit den Eigenschaften der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, … beschäftigt, stehen die Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, … Diese sind ausgezeichnet durch die Eigenschaft, genau zwei Teiler zu haben, nämlich die 1 und sich selbst. Die 1 ist keine Primzahl. Primzahlen bilden gewissermaßen die Atome der ganzen Zahlen, da sich jede positive ganze Zahl eindeutig multiplikativ in solche zerlegen lässt. Dieses Resultat wird auch als Fundamentalsatz der Arithmetik bezeichnet. Zum Beispiel gilt und .

Trotz ihrer einfachen Definition ist nach mehreren Jahrtausenden Mathematikgeschichte bis heute kein Muster bekannt, dem sich die Primzahlen in ihrer Folge unterwerfen. Ihre Natur ist eine der bedeutendsten offenen Fragen der Mathematik. In der modernen Mathematik gibt es jedoch tiefliegende Vermutungen, die das Verhalten der Primzahlen als pseudozufällig einordnen und Verbindungen zur Quantenphysik sehen. All diese Aussagen liegen im Themenbereich der Riemannschen Vermutung.

Der Satz von Dirichlet

Eine arithmetische Progression ist eine Folge von ganzen Zahlen, bei der die Differenz zweier aufeinanderfolgender Zahlen konstant ist. Beispiele sind

oder auch

Der Satz von Dirichlet besagt, dass eine arithmetische Progression stets unendlich viele Primzahlen beinhaltet, es sei denn, dies ist aus trivialen Gründen unmöglich. In der einfachsten Fassung lautet der Satz:

Es sei eine natürliche Zahl und eine zu teilerfremde natürliche Zahl. Dann enthält die arithmetische Progression unendlich viele Primzahlen.Jörg Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer Verlag, S. 36.

Anders formuliert: Es gibt unendlich viele Primzahlen, die kongruent zu modulo sind. Dabei ist die Voraussetzung der Teilerfremdheit notwendig. Wären und nicht teilerfremd und ein gemeinsamer Teiler, so wäre jedes Folgenglied durch teilbar; zwei verschiedene Primzahlen können aber nicht beide durch teilbar sein. Dass die Bedingung der Teilerfremdheit von und für die Existenz unendlich vieler Primzahlen in der entsprechenden Folge nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend ist, ist genau die Aussage des Satzes von Dirichlet. Dirichlet konnte sogar etwas mehr zeigen. Es handelt sich um eine direkte Verallgemeinerung des Satzes von Euler über Primzahlen. Es gilt mit oberen Bedingungen:

mini|Veranschaulichung der Summe der Kehrwerte aller Zweierpotenzen Diese Aussage ist stärker als die obere Version. Denn offenbar impliziert die Divergenz der Reihe die Unendlichkeit der Primzahlen in der betroffenen arithmetischen Folge. Es gibt allerdings unendliche Folgen, deren Kehrwertsumme beschränkt bleibt. Ein Beispiel bilden die Quadratzahlen (siehe Basler Problem), ferner die Zweierpotenzen, für die gilt

Damit besagt die verstärkte Fassung des Satzes von Dirichlet, dass die Primzahlen in den relevanten arithmetischen Progressionen gewissermaßen „dicht“ unter den natürlichen Zahlen verteilt sind.

Beispiele

Aus dem Satz von Dirichlet folgt zum Beispiel, dass unendlich viele Primzahlen auf die Ziffern 1, 3, 7 oder 9 enden. Noch allgemeiner gibt es unendlich viele Primzahlen, deren letzte Ziffern auf 37, 113, 419 oder 567241 enden. Die ersten Primzahlen mit Endziffern 419 sind . Es gilt ferner

Triviale Gründe, wann der Satz nicht gilt, liegen vor, wenn und nicht teilerfremd sind. Dann gibt es eine ganze Zahl , die sowohl als auch teilt. Damit teilt jede der Zahlen mit natürlichen und somit enthält diese Folge höchstens (einmal) die Primzahl , falls überhaupt prim ist. Etwa sind und nicht teilerfremd. In der Tat sind alle Zahlen der Progression

durch teilbar. Damit enthält sie keine einzige Primzahl.

Trivialerweise impliziert der Satz von Dirichlet den Satz des Euklid, der besagt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Setzt man etwa , so besagt er, dass die Progression

unendlich viele Primzahlen enthält.

Geschichte

Die mathematische Entdeckungsgeschichte über die Verteilung der Primzahlen reicht bis in die Antike zurück. Schon Euklid erkannte, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Sein Resultat wird als der Satz des Euklid bezeichnet. Ab dem 18. Jahrhundert wurde begonnen, dieses qualitative Resultat quantitativ zu vertiefen. Dabei spielten zunehmend Methoden aus der Analysis eine Rolle, die den alten Griechen noch nicht zur Verfügung standen.

Eine Entdeckung Eulers

mini|hochkant=0.8|Leonhard Euler (1753)

Leonhard Eulers Entdeckungen zu den Primzahlen waren ein Wegweiser für die kommende Entwicklung von einer elementaren, in der Tradition der alten Griechen stehenden, hin zu einer modernen Form der Zahlentheorie. Im Jahr 1737, während seiner ersten Zeit in Sankt Petersburg, untersuchte Euler einen neuartigen Zugang zu den Primzahlen und fand heraus, dass sie „verhältnismäßig dicht“ unter den natürlichen Zahlen verstreut sind. Genauer bewies er

Summiert man also nacheinander die Kehrwerte der Primzahlen, wird auf Dauer jede noch so große obere Schranke durchbrochen. Dies zeigt, dass Primzahlen eher „dicht“ unter den natürlichen Zahlen verstreut sind; zum Beispiel „dichter“ als die Quadratzahlen,Harold M. Edwards: Riemann’s Zeta Function. Dover, S. 1. denn ebenfalls Euler zeigte

Quadratzahlen wachsen also langfristig schnell genug an, dass die Summe ihrer Kehrwerte den endlichen Wert 1,645 nicht überschreitet. Euler stand seiner Zeit nicht die mathematische Sprache zur Verfügung, diese Verschärfung des Euklidischen Satzes präzise zu interpretieren, und es gibt keinen Nachweis, dass er sich mit exakten Aussagen zur Verteilung von Primzahlen beschäftigte.Harold M. Edwards: Riemann’s Zeta Function. Dover, S. 2.

Eulers Beweisstrategie für nutzt das sog. Euler-Produkt. Dabei spielt die eindeutige Zerlegbarkeit natürlicher Zahlen in Primfaktoren eine Schlüsselrolle. Das Euler-Produkt steht in Zusammenhang zu einem Objekt, das bis heute in der Primzahlforschung benutzt wird und in der modernen Mathematik als Riemannsche Zeta-Funktion bekannt ist. Die Zeta-Funktion spielt ebenfalls für die Riemannsche Vermutung eine zentrale Rolle. Die neuartige Leistung bestand darin, Fragen zu Primzahlen systematisch durch funktionale Zusammenhänge zwischen Zahlen anzugreifen. Euler gilt deswegen als Initiator der analytischen Zahlentheorie.Jörg Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer Verlag, S. 4.

Auch Euler hatte sich bereits Gedanken über Primzahlen in arithmetischen Progressionen gemacht. So behauptete er 1785, dass es zu jeder Zahl unendlich viele Primzahlen mit gibt.Władysław Narkiewicz: The Development in Prime Number Theory, Springer Monographs in Mathematics, S. 49.

Erste vollständige Formulierung und Beweisversuche

mini|hochkant=0.8|Adrien-Marie Legendre karikiert von Julien Léopold Boilly