In der Klassenkörpertheorie wird der Hilbertsche -Klassenkörperturm eines vorgegebenen algebraischen Zahlkörpers für eine feste Primzahl rekursiv erklärt durch den Rekursionsbeginn (Initialisierung) und durch die iterierte Bildung des Hilbertschen -Klassenkörpers des jeweiligen Vorgängers im Allgemeinen Rekursionsschritt für jede ganze Zahl . Insgesamt ergibt sich ein Turm von Körpererweiterungen , wobei die Vereinigung oft selbst als -Klassenkörperturm bezeichnet wird. Für die Rekursion werden niemals die allgemeineren Begriffe der Strahlklassenkörper und Ringklassenkörper verwendet, sondern stets der absolute oder Hilbertsche -Klassenkörper als maximale (mit Relativführer ) unverzweigte -Erweiterung mit Primzahlpotenz-Grad und abelscher, also kommutativer, Galoisgruppe . Die Bezeichnung Klassenkörper rührt daher, dass nach dem Artinschen Reziprozitätsgesetz die Automorphismengruppe nicht nur irgendeine abelsche Gruppe ist, sondern ganz speziell isomorph zur (abelschen) -Idealklassengruppe , das heißt zur Sylow -Untergruppe der Idealklassengruppe , des Grundkörpers .
Bereits im Jahr 1925 haben P. Furtwängler und O. Schreier die Frage aufgeworfen, ob es Türme gibt, die nicht stationär werden, mit einer endlichen Länge und für alle , sondern bei denen in der Formel (1) stets die strikte Ungleichung anstelle von gilt. Es dauerte fast 40 Jahre, bis E. Golod und I. Shafarevich dieses Problem schließlich im Jahr 1964 mit Methoden der Galois-Kohomologie affirmativ lösen konnten. Sie zeigten, dass ein Grundkörper mit hinreichend großem -Klassenrang tatsächlich einen unendlichen -Klassenkörperturm besitzt.
Der Turm kann auch kompakter, aber äquivalent, in der folgenden Weise definiert werden, wobei allerdings die Etagen-Struktur verborgen bleibt:
In der algebraischen Zahlentheorie, also der Theorie der komplexen Nullstellen , von univariaten Polynomen mit ganzen rationalen Zahlen als Koeffizienten, versteht man unter dem -Klassenkörperturm eines algebraischen Zahlkörpers die maximale unverzweigte pro--Erweiterung von für eine fest vorgegebene Primzahl . Durch das Zulassen unendlicher Körpererweiterungen wird hier bereits die von Golod und Shafarevich bewiesene Möglichkeit unbeschränkter Klassenkörpertürme berücksichtigt.
Die Gruppe der Automorphismen von , welche den Grundkörper invariant lassen, heißt die -Turmgruppe von . Im Fall eines unendlichen -Klassenkörperturms ist eine topologische Gruppe mit der Krull-Topologie.
+ Tabelle 1: Invarianten der 3-Klassenkörpertürme imaginär-quadratischer ZahlkörperdTypusκτG32(K)G3∞(K) Ref. -3896H.4(4443)[111,111,21,111]⟨729,45⟩⟨6561,606⟩ -4027D.10(2241)[21,21,111,21]⟨243,5⟩⟨243,5⟩ -9748E.9(2231)[32,21,21,21]⟨2187,302⟩⟨6561,620⟩oder⟨2187,306⟩⟨6561,624⟩ -12131D.5(4224)[111,21,111,21]⟨243,7⟩⟨243,7⟩ -15544E.6(1313)[32,21,111,21]⟨2187,288⟩⟨6561,616⟩ -16627E.14(2313)[32,21,111,21]⟨2187,289⟩⟨6561,617⟩oder⟨2187,290⟩⟨6561,618⟩ -34867E.8(1231)[32,21,21,21]⟨2187,304⟩⟨6561,622⟩
Stufen und Länge des p-Klassenkörperturms Die absteigende Reihe der iterierten Kommutatorgruppen von , mit für , gibt im Sinne der Galois-Korrespondenz Anlass für die Stufen (Etagen, Stockwerke) des Turms, welche gegeben sind durch , beziehungsweise gleichwertig durch , für .
Aufgrund des Isomorphiesatzes ist die Galois-Gruppe des -ten Hilbertschen -Klassenkörpers von , isomorph zum -ten abgeleiteten Quotienten von , und wird als -te -Klassengruppe von bezeichnet. Für ergibt sich mit Hilfe des Reziprozitätsgesetzes von Artin
die Isomorphie der Abelisierung der p-Turmgruppe, , zur (gewöhnlichen) ersten -Klassengruppe von , also zur Sylow-p-Untergruppe der (endlichen abelschen) Idealklassengruppe von , als Galois-Gruppe der maximalen abelschen unverzweigten -Erweiterung von .
Die -Turmgruppe ist entweder eine unendliche pro--Gruppe mit endlicher Abelisierung oder eine endliche -Gruppe. Im ersteren Fall ist auch der -Klassenkörperturm von , , von unendlicher Länge und ist der projektive Limes der Galois-Gruppen aller Stufen des Turmes. Im letzteren Fall ist auflösbar und nilpotent und der Turm endet bei der abgeleiteten Länge von , , präziser ausgedrückt: wird dort stationär.
Relationenrang der p-Turmgruppe Für die Bestimmung der Länge eines -Klassenkörperturms ist die Abschätzung des Relationenrangs von von entscheidender Bedeutung.
operiert trivial auf dem endlichen Körper mit Elementen und die kohomologischen Dimensionen , bzw. , heißen Generatorenrang, bzw. Relationenrang, von .
Für einen Grundkörper mit der Signatur , also mit dem torsionsfreien Dirichlet-Einheitenrang , hat Shafarevich Translated in Amer. Math. Soc. Transl. (2), 59: 128–149, (1966). die folgende Abschätzung des Relationenrangs der -Turmgruppe hergeleitet: , wobei , falls die -ten Einheitswurzeln enthält, und anderenfalls.
Aufgrund der Isomorphie ist der Generatorenrang von gleich dem -Klassenrang von , also gleich der Anzahl der Basiselemente der -Klassengruppe .
Für den besonders ausführlich untersuchten einfachsten Spezialfall eines imaginär-quadratischen Grundkörpers haben Koch und Venkov aus dem kohomologischen Kriterium von Shafarevich das folgende grundlegende Resultat abgeleitet.
Satz von Koch und Venkov. Für eine ungerade Primzahl ist die -Turmgruppe eines imaginär-quadratischen Zahlkörpers eine sogenannte Schur -Gruppe mit ausgewogener Präsentation und mit einem Automorphismus , welcher auf der Abelisierung die Inversion hervorruft. (Wegen der Isomorphie heißt ein generatoren-invertierender (GI-)Automorphismus.)
Zusatz von Schoof. Für eine ungerade Primzahl und für jede ganze Zahl besitzt die -te -Klassengruppe eines beliebigen (imaginären oder reellen) quadratischen Zahlkörpers einen Automorphismus , der sowohl auf als auch auf die Inversion induziert. ( heißt daher ein relatoren-invertierender (RI-)Automorphismus.)
+ Tabelle 2: Invarianten der 3-Klassenkörpertürme reell-quadratischer ZahlkörperdTypusκτG32(K)G3∞(K) Ref. 32009 a.3 (2000) [21,11,11,11] ⟨81,8⟩ ⟨81,8⟩ 62501 a.1 (0000) [22,11,11,11] ⟨729,99⟩ ⟨729,99⟩ 72329 a.2 (1000) [21,11,11,11] ⟨81,10⟩ ⟨81,10⟩ 142097 a.3 (2000) [111,11,11,11] ⟨81,7⟩ ⟨81,7⟩ 152949 a.1 (0000) [22,11,11,11] ⟨729,100⟩ ⟨729,100⟩ 214712 G.19 (4321) [21,21,21,21] ⟨729,57⟩ ⟨2187,311⟩ 252977 a.1 (0000) [22,11,11,11] ⟨729,101⟩ ⟨729,101⟩ 342664 E.9 (2231) [32,21,21,21] ⟨2187,302⟩ ⟨6561,620⟩ oder ⟨2187,306⟩ ⟨6561,624⟩ 494236 a.3↑ (2000) [32,11,11,11] ⟨729,97⟩ ⟨729,97⟩ oder ⟨729,98⟩ ⟨729,98⟩ 534824 c.18 (0313) [22,21,111,21] ⟨729,49⟩ ⟨2187,291⟩ 540365 c.21 (0231) [22,21,21,21] ⟨729,54⟩ ⟨2187,307⟩ oder ⟨2187,308⟩ 790085 a.2↑ (1000) [32,11,11,11] ⟨729,96⟩ ⟨729,96⟩ 957013 H.4 (4443) [111,111,21,111] ⟨729,45⟩ ⟨2187,273⟩ 2905160 a.1↑ (0000) [33,11,11,11] ⟨6561,2227⟩ ⟨6561,2227⟩ 3918837 E.14 (2313) [32,21,111,21] ⟨2187,289⟩ ⟨2187,289⟩ oder ⟨2187,290⟩ ⟨2187,290⟩ 4760877 E.9 (2231) [32,21,21,21] ⟨2187,302⟩ ⟨2187,302⟩ oder ⟨2187,306⟩ ⟨2187,306⟩ 5264069 E.6 (1313) [32,21,111,21] ⟨2187,288⟩ ⟨6561,616⟩ 6098360 E.8 (1231) [32,21,21,21] ⟨2187,304⟩ ⟨6561,622⟩ 7153097 E.6 (1313) [32,21,111,21] ⟨2187,288⟩ ⟨2187,288⟩ 8632716 E.8 (1231) [32,21,21,21] ⟨2187,304⟩ ⟨2187,304⟩ 9433849 E.14 (2313) [32,21,111,21] ⟨2187,289⟩ ⟨6561,617⟩ oder ⟨2187,290⟩ ⟨6561,618⟩ 10200108 a.3↑↑ (2000) [43,11,11,11] ⟨6561,2223⟩ ⟨6561,2223⟩ oder ⟨6561,2224⟩ ⟨6561,2224⟩ 10399596 a.1↑ (0000) [33,11,11,11] ⟨6561,2225⟩ ⟨6561,2225⟩ 14458876 a.2↑↑ (1000) [43,11,11,11] ⟨6561,2222⟩ ⟨6561,2222⟩ 27780297 a.1↑ (0000) [33,11,11,11] ⟨6561,2226⟩ ⟨6561,2226⟩
Artin-Muster der p-Turmgruppe Auf dem Wege zur Identifikation der -Turmgruppe eines vorgegebenen Zahlkörpers verwendet man zunächst das Artin-Muster , um die Metabelianisierung von zu finden.
Dieses Muster besteht aus der Gesamtheit der Kerne und Ziele , genauer: der logarithmischen abelschen Quotienten-Invarianten der Ziele, der Artin-Verlagerungen der Gruppe in ihre maximalen Untergruppen vom Index .
In vielen Fällen führt diese Strategie der Mustererkennung mittels Artin-Verlagerungen zur eindeutigen Identifizierung zumindest der zweiten Stufe des Turmes, also der metabelschen Galois-Gruppe des zweiten Hilbert--Klassenkörpers von , als Approximation der vollen -Turmgruppe . Auf jeden Fall liefert dieser Prozess nur endlich viele Kandidaten für .
Historisch gesehen, geht die Idee zu dieser Vorgangsweise auf die Untersuchungen von Arnold Scholz und Olga Taussky-Todd im Jahre 1934 zurück, aus welchen auch die Bezeichnungen für den Typus in den Tabellen 1 und 2 herrühren. Diese Autoren bestimmten aus dem Kapitulationstypus (kurz: Typus) imaginärquadratischer Zahlkörper mit elementarer -Klassengruppe vom Rang die symbolische Ordnung, das heißt das Annihilatorideal aller bivariaten Polynome mit der Eigenschaft , des Hauptkommutators der metabelschen Gruppe vom Erzeugendenrang , also mit zwei Generatoren und .
Die zweite Komponente des Artin-Musters kam bei Scholz und Taussky noch in einer rudimentären Ausprägung in Form der -Klassenzahlen der vier unverzweigten zyklisch-kubischen Erweiterungen von ins Spiel, war aber zusammen mit hinreichend für die eindeutige Identifikation der Gruppe .
In der experimentellen, computerunterstützten Mathematik dient das Artin-Muster als Suchbegriff für Datenbankabfragen entweder in der SmallGroups Bibliothek oder in Erweiterungen dieser Bibliothek, die mithilfe des -Gruppen-Erzeugungs-Algorithmus von M. F. NewmanM. F. Newman, Determination of groups of prime-power order, in: Group Theory, Canberra 1975, Springer, Lecture Notes in Mathematics 573, 1977, S. 73–84 und E. A. O' Brien konstruiert werden. Die Verwendung der expliziten Struktur von in Form der abelschen Typinvarianten der -Klassengruppen (anstelle der -Klassenzahlen) der vier unverzweigten zyklisch-kubischen Erweiterungen von kann dabei zu einer erheblichen Einschränkung der Kandidaten für die Gruppe führen.
Konkrete Beispiele von p-Klassenkörpertürmen Systematisch erforscht wurden bisher die -Klassenkörpertürme von quadratischen Zahlkörpern für ungerade Primzahlen .
Ein quadratischer Zahlkörper entsteht durch Adjunktion einer der beiden Nullstellen und des Polynoms mit einer Fundamentaldiskriminante , , an den Körper der rationalen Zahlen. Einige grundlegende Regeln für die Länge des -Klassenkörperturms eines quadratischen Zahlkörpers lassen sich in Termen des -Klassenrangs von ausdrücken:
Der triviale Fall tritt bei einem beliebigen Zahlkörper genau dann auf, wenn auch , also die Klassenzahl von nicht durch teilbar ist. Einstufige Türme mit sind bei quadratischen Grundkörpern charakteristisch für zyklische -Klassengruppen mit . Diese Äquivalenz geht bei anderen Arten von Grundkörpern leider verloren. So ist für Zahlkörper dritten und vierten Grades die Bedingung zwar noch hinreichend aber im Allgemeinen nicht mehr notwendig für . Koch und Venkov haben gezeigt, dass imaginär-quadratische Zahlkörper mit mindestens dreibasiger -Klassengruppe, also mit , einen unendlichen -Klassenkörperturm mit besitzen. Den abwechslungsreichsten Fall bilden die quadratischen Zahlkörper mit -Klassenrang , für die theoretisch alle Längen möglich sind, von denen aber bisher (Stand 28. April 2020) nur Situationen mit und rigoros nachgewiesen werden konnten.
Die zweite Etage des -Klassenkörperturms aller quadratischen Zahlkörper mit Fundamentaldiskriminanten im Bereich und elementarer -Klassengruppe vom Rang zwei wurde im Jahre 2010 in einem aufwendigen, mehrere Monate an CPU-Zeit in Anspruch nehmenden Projekt bestimmt, dessen zugrundeliegende neuartige Algorithmen unter dem Schlagwort Kapitulationstypus mittels Klassengruppenstruktur publiziert wurden, weil für die Bewältigung der 4596 zu analysierenden Zahlkörper der von Scholz und Taussky, sowie auch von Heider und Schmithals, benutzte Algorithmus zu wenig effizient gewesen wäre.
Die dritte Etage eines -Klassenkörperturms, nämlich jedes imaginär-quadratischen Zahlkörpers , , mit elementarer -Klassengruppe vom Rang zwei und Artin-Muster