mini|Die Verdopplungszeit einer exponentiell wachsenden Größe Die Verdopplungszeit (auch Verdoppelungszeit oder Doppelwertszeit genannt) bezeichnet die Zeitspanne, in der eine mit der Zeit zunehmende Größe (beispielsweise die Bevölkerung eines Landes oder das Kapital eines verzinslichen Kontos) das Doppelte ihres anfänglichen Werts erreicht. Der Begriff wird praktisch ausschließlich für (zumindest phasenweise) exponentielle Wachstumsprozesse verwendet. Dann ist die Verdopplungszeit unabhängig vom anfänglichen Wert, das heißt sie ist für alle Ausgangswerte gleich groß und charakterisiert den zugrunde liegenden Prozess als solchen. Umgekehrt gilt: Ist die Verdopplungszeit für jeden Anfangswert dieselbe, so handelt es sich um exponentielles Wachstum.
Die Verdopplungszeit ermöglicht eine bessere Vergleichbarkeit des Wachstums unterschiedlicher Größen gegenüber dem Vergleich anhand der absoluten Größenänderung. Eine kürzere Verdopplungszeit bedeutet ein schnelleres Wachstum, eine längere Verdopplungszeit ein langsameres Wachstum. Die Verdopplungszeit ist mathematisch mit der Halbwertszeit verwandt. In der Mikrobiologie wird sie auch als Generationszeit bezeichnet.
Berechnung bei exponentiellem Wachstum Die Verdopplungszeit wird mit folgender Gleichung aus der Wachstumsrate oder dem Wachstumsfaktor berechnet:
Eine näherungsweise Berechnung ist aus der Wachstumsrate (in Prozent angegeben) ist z. B. mit der 72er-Regel möglich: .
Beispiel Wächst die Bevölkerung eines Landes jährlich um 2 % beträgt der Wachstumsfaktor . Daraus ergibt sich eine Verdopplungszeit von . Die Bevölkerung verdoppelt sich also etwa alle 35 Jahre. Mit der 72er-Regel erhält man die Verdopplungszeit näherungsweise als .
Herleitung Gegeben ist die zeitlich exponentiell wachsende Größe :
, mit .
Da die Verdopplungszeit für alle Ausgangswerte dieselbe ist, genügt es, sie für den Anfangswert zu berechnen:
Zum Zeitpunkt soll sich der anfängliche Wert verdoppelt haben, d. h.
.
Division durch sowie Logarithmieren führt auf
.
Mit dem Logarithmengesetz für Potenzen ergibt sich
und schließlich
.
Einzelnachweise
Kategorie:Biologischer Zeitraum Kategorie:Statistik