mini|Titelblatt der Introductio in analysin infinitorum von 1748

Das wissenschaftliche Werk von Leonhard Euler ist das umfangreichste von einem Mathematiker jemals geschaffene. Es umfasst unter anderem grundlegende Resultate in den Bereichen Infinitesimalrechnung, Analysis, Mechanik, Astronomie, Geodäsie, Zahlentheorie, Algebra, Trigonometrie, Geometrie, Musiktheorie und Optik.

Zu Eulers berühmtesten Resultaten zählen die Lösung des Basler Problems, der Polyedersatz und die Eulersche Identität, wobei letztere eine enge Verbindung zwischen zahlreichen fundamentalen mathematischen Konstanten zieht. Für diese und andere Ergebnisse erhielt Euler auch posthum viele Ehrungen.

mini|Porträt Leonhard Eulers (Jakob Emanuel Handmann 1753)

Eulers Forschung war sehr vielseitig. Er arbeitete in fast allen Bereichen der Mathematik und gilt als einer der produktivsten Mathematiker der Geschichte. Seine gesammelten Schriften der Opera omnia umfassen bisher 76 Bände. Insgesamt gibt es 866 Publikationen von ihm. Eulers Name ist mit einer großen Anzahl von Resultaten und wissenschaftlichen Themenbereichen verbunden.

Nach Leonhard Euler sind gleich zwei mathematische Konstanten benannt: die Eulersche Zahl aus der Analysis (siehe Exponentialfunktion) und die Euler-Mascheroni-Konstante γ (Gamma) aus der Zahlentheorie, die manchmal nur als Eulersche Konstante bezeichnet wird und ungefähr gleich 0,57721 ist. Es ist nicht bekannt, ob γ rational oder irrational ist. Im Gegensatz dazu ist die Irrationalität der Zahl e bekannt und wurde zuerst von Euler gezeigt (siehe auch: Beweis der Irrationalität der eulerschen Zahl).

Eine breitere Leserschaft erlangte zudem seine populärwissenschaftliche Schrift Lettres à une princesse d’Allemagne von 1768, in der er in Form von Briefen an die Prinzessin Friederike Charlotte von Brandenburg-Schwedt, eine Nichte 2. Grades Friedrichs II., die Grundzüge der Physik, der Astronomie, der Mathematik, der Philosophie und der Theologie vermittelte.

Leonhard Eulers Werk beeinflusste viele Generationen an Mathematikern nachhaltig. So sagte Carl Friedrich Gauß: „Das Studium der Werke Eulers bleibt die beste Schule in den verschiedenen Gebieten der Mathematik und kann durch nichts anderes ersetzt werden“. Wegen der großen Zahl an Publikationen und Korrespondenzen zu anderen Mathematikern und Persönlichkeiten, ziehen sich Bestrebungen, ein Eulersches Gesamtwerk herauszugeben, bis in die heutige Zeit hinein. Durch die Herausgabe der Opera Omnia über die Euler-Kommission gilt dieses Unterfangen jedoch als weitestgehend umgesetzt.

Mathematische Notationen

Euler führte in seinen zahlreichen Lehrbüchern mehrere Notationskonventionen ein. Durch die weite Verbreitung der Bücher setzten sich viele seiner Notationen nachhaltig durch. Er führte das Konzept der mathematischen Funktion einWilliam Dunham: Euler: The Master of Us All. Mathematical Association of America, 1999, ISBN 978-0-88385-328-3. S. 17. und schrieb als erster f(x), um die Funktion f zu bezeichnen, die auf das Argument x angewandt wird. Der „formale“ von Euler verwendete Funktionsbegriff war ein wichtiger Meilenstein in Richtung der heutigen Definition:

Von ihm stammen auch die bis heute gebräuchlichen Notationen für die trigonometrischen Funktionen, der Buchstabe e für die Basis des natürlichen Logarithmus, der griechische Buchstabe Σ (Sigma) für Summen und der Buchstabe i zur Bezeichnung der imaginären Einheit;Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach: A History of Mathematics. John Wiley & Sons, 1991, ISBN 978-0-471-54397-8. S. 439–445. das Zeichen Δ (Delta) für die Differenz stammt ebenfalls von Euler.Rüdiger Thiele: Leonhard Euler. Leipzig 1982, S. 115. Die Verwendung des griechischen Buchstabens π zur Bezeichnung des Verhältnisses von Kreisumfang und -durchmesser (Kreiszahl) wurde ebenfalls von Euler popularisiert, obwohl sie ursprünglich auf den walisischen Mathematiker William Jones zurückgeht.Jones, William: Synopsis Palmariorum Matheseos. S. 243; .

Analysis und Funktionentheorie Elementare Analysis

Euler kann als einer der Begründer der Analysis angesehen werden. Der Mathematikhistoriker Thomas Sonar beschreibt in seinem Buch 3000 Jahre Analysis (2011) Leonhard Euler als einen „echten Giganten für die Analysis“. Eulers Bedeutung für dieses Feld wird nicht nur über die Einführung eines rigorosen Funktionsbegriffs hervorgehoben. So sei er „ungeschlagener Meister“ im Umgang mit Potenzreihen, die er als „unendliches Polynom verstanden“ zu seinem ständigen „Arbeitspferd“ machte.Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis. Springer, S. 455–456.

Euler leistete Pionierarbeit bei der Verwendung analytischer Methoden zur Lösung von Problemen der Zahlentheorie. Damit vereinte er zwei ungleiche Zweige der Mathematik und führte ein neues Studiengebiet ein, die analytische Zahlentheorie.

Infinitesimalrechnung

Wegen anhaltender Forschung war die Infinitesimalrechnung im 18. Jahrhundert auf dem Vormarsch. Insbesondere Eulers Freunde, die Bernoullis, waren für einen Großteil der frühen Fortschritte auf diesem Gebiet verantwortlich. Dank ihres Einflusses wurde das Studium der Infinitesimalrechnung zum Hauptschwerpunkt von Eulers Arbeit. In seinem Werk Institutiones calculi differentialis (1755) beschäftigte er sich systematisch mit der Differentialrechnung. Euler wählte die Interpretation: „Kleiner als jede angebbare Größe“ für infinitesimale Größen. In den Institutiones calculi differentialis aus dem Jahr 1755 definiert Euler:

Euler betrachtet also das Rechnen mit unendlich kleinen Größen als „Nullenrechnung“. Für diese führte er eine „unendlich kleine“ Größe und eine „unendlich große“ Größe (nicht zu verwechseln mit der imaginären Einheit) ein – und nutzte diese für Herleitungen korrekter Aussagen.Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis. Springer, S. 462. So nutzte Euler mit den für „eine zunächst beliebige Zahl gültigen Ansatz“

um die für die Eulersche Zahl geltende Reihe

herzuleiten.Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis. Springer, S. 463. Diese Formel liefert eine äußerst schnell konvergente Reihe für die Zahl , es gilt zum Beispiel

Vor dem Hintergrund zu Eulers Formel für ist zu erwähnen, dass für der Grenzwert

gültig ist, was seine -Notation in die moderne Sprache eines mathematischen Limes einordnet.

mini|hochkant=1|Animation zur Taylorreihenentwicklung der Exponentialfunktion an der Stelle x=0. Die Gültigkeit dieser Reihe wurde von Euler bewiesen.

Taylorreihen

Euler ist in diesem Kontext für die Entwicklung und häufige Verwendung von Potenzreihen bekannt. Diese können als „unendlich lange Polynome“ aufgefasst werden, aus denen sich eine Funktion aus ihrem lokalen Verhalten (d. h. unter Kenntnis all ihrer Ableitungen und einem Punkt) in manchen Fällen „global rekonstruieren“ lässt. Unter anderem gab er direkte Beweise für Taylorreihen der Exponentialfunktion

und der Arkustangensfunktion. Indirekte Beweise stammen von NewtonIsaac Newton: De analysi per aequationes numero terminorum infinitas. 31. Juli 1669, in Latein verfasst, im Abschnitt De serie progressionum continuanda. und Leibniz aus der Zeit 1665 bis 1680. Ebenso entwickelte Euler die Sinus- und Kosinusfunktion in ihre Taylor-Reihen um den Entwicklungspunkt 0:

Diese benutzte er, um mittels einfachen Einsetzens die Eulersche Formel für die Exponentialfunktion herzuleiten.

Unendliche Reihen

1736 fand er (ebenfalls durch Verwendung von Potenzreihen) den lange gesuchten Grenzwert für die unendliche Summe der reziproken Quadratzahlen:

mini|Eulers explizite Berechnungen in seiner Originalarbeit De Summis Serierum Reciprocarum

Summiert man also „alle“ (unendlich vielen) Kehrwerte der Quadratzahlen auf, ist das Ergebnis die Zahl . Das bedeutet, dass für jede noch so kleine Zahl (etwa ) eine Quadratzahl existiert, so dass für alle folgenden Quadratzahlen gilt

Da er für dieses Ergebnis bis dato nicht bekannte Manipulationstechniken für Potenzreihen verwendet hatte, wurde sein ursprünglicher Beweis nicht akzeptiert. Jedoch veröffentlichte Euler im Jahr 1743 einen anderen Beweis.Leonhard Euler: Demonstration de la somme de cette suite etc. Urspr. veröffentlicht in Journ. lit. d’Allemange, de Suisse et du Nord, 2:1, 1743, S. 115–127. Aus einer Verallgemeinerung dieses sogenannten Basler Problems leitete er eine geschlossene Darstellung für die geraden Bernoulli-Zahlen ab. Er zeigte beispielsweise, dass die Summe der Kehrwerte aller vierten Potenzen und sechsten Potenzen ebenfalls gegen rationale Vielfache entsprechender Potenzen von streben.

und ganz allgemein

Diese galt sehr lange als beste Methode für die Berechnung der Bernoulli-Zahlen .David Harvey: A multimodular algorithm for computung Bernoulli numbers. Oktober 2008, .

Er nutzte die Identität

400px|mini|Euler war durch unendliche Reihen im Stande, die Kreiszahl auf zahlreiche Stellen zu berechnen. In seiner im Jahre 1748 erschienenen Introductio in Analysin Infinitorum gab er im ersten Band bereits auf 148 Stellen genau an.

mit dem Arkustangens um eine schnell konvergierende Reihe für herzuleiten.Lokenath Debnath: The legacy of Leonhard Euler. A Tricentennial Tribute. S. 202. Unendliche Reihen wie zum Beispiel

oder auch

mit der Riemannschen Zeta-Funktion gehen ebenfalls auf Euler zurück.Steven R. Finch: Mathematical Constants. Encyclopedia of Mathematics and its Applications 94, Cambridge University Bridge, 2003, S. 20 und S. 44.Lokenath Debnath: The legacy of Leonhard Euler. A Tricentennial Tribute. S. 223. Es war Euler, der als erster divergente Reihen systematisch untersuchte.

Trigonometrische Funktionen

Euler ist der erste Autor, der die Winkelfunktionen auf einen Kreis mit Radius 1 bezieht und sie dadurch normiert. Das geschieht im sechsten Kapitel der Introductio. Insbesondere folgt nach dem Satz des Pythagoras dann sofortThomas Sonar: 3000 Jahre Analysis. S. 465.

Eine Reihe von Grundformeln der Trigonometrie wurden systematisch von Euler hergeleitet. Er benutzte die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen und gab als erster einen einfachen und klaren Beweis der bekannten Formel von De Moivre. Dieser Beweis gilt auch aus heutiger Sicht als streng, falls man davon absieht, dass die vollständige Induktion formal nicht abgeschlossen wurde. Euler erhielt aus diesen Formeln die Entwicklung der trigonometrischen Funktionen in Potenzreihen, indem er dasselbe Verfahren wie im Falle der Exponentialfunktion benutzte.Aleksander O. Gelfond: Über einige charakteristische Züge in den Ideen L. Eulers auf dem Gebiet der mathematischen Analysis und seiner Einführung in die Analysis des Unendlichen. In: Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk. S. 106.

Auch die Partialbruchzerlegung des Kotangens war Gegenstand von Eulers Forschung. Diese diskutierte er unter anderem in einem Brief an Christian Goldbach vom 30. Juni 1742.Leonhard Euler: Briefwechsel. Opera omnia, Series Quarta A, Vol, 1, S. 142.

Im Kontext mit seinen Studien über Funktionen einer komplexen Variablen, die teilweise von d’Alembert antizipiert wurden, gelangte Euler mittels einer schon von Johann Bernoulli verwendeten nicht-reellen Substitution zum Resultat

In diesem Zusammenhang ist erwähnenswert, dass Euler mittels mehrfacher Anwendung des Additionstheorems auf die Funktionen die Produktformel

generierte.Emil A. Fellmann: Leonhard Euler: Essay über Leben und Werk. In: Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk. S. 46–47.

Exponentialfunktion und Logarithmus

mini|Geometrische Interpretation der Eulerschen Formel anhand des Einheitskreises.