mini|Zweikörperproblem von zwei sich anziehenden Massenpunkten (blau) Die Punktmechanik ist ein Teilgebiet der Mechanik, in dem von der Beschaffenheit und Gestalt der Körper, deren Bewegungen interessieren, abgesehen wird und sie auf ihre im Massenmittelpunkt konzentrierte Masse reduziert werden. Diese Idealisierung vereinfacht die mathematische Behandlung und hatte ihre ersten Erfolge in der Himmelsmechanik, wo es Isaac Newton gelang, die Keplerbahnen um die Sonne mathematisch darzustellen (siehe Bild). Denn die Abmessungen der Himmelskörper sind im Sonnensystem klein gegen ihren Abstand und der Einfluss der Eigenrotationen ist vernachlässigbar.

In vielen Bereichen und Anwendungen ist das Konzept des Massenpunkts erfolgreich und es können mit ihm auch Aspekte der Relativitätstheorie und Quantenmechanik behandelt werden. Die Darstellung bleibt dabei aber übersichtlich und auch Anfängern zugänglich.

Geschichtliches Die Punktmechanik geht auf den Begründer der theoretischen Physik Isaac Newton zurück. Ihm gelang es, aus den Kepler’schen Gesetzen das Gravitationsgesetz herzuleiten und den Flächensatz auf beliebige Zentralkräfte zu verallgemeinern. Dieser Erfolg führte zum Bemühen alle Naturerscheinungen auf Kräfte zurückzuführen, die zwischen zwei punktförmigen Teilchen wirken und nur von deren Abstand abhängen, eine Auffassung, die die Physik bis weit ins 19. Jahrhundert beherrschte.

Eine neue Anwendung hat die Punktdynamik darin gefunden, mechanische Analogien physikalischer Erscheinungen zu liefern, mit denen beispielsweise James Clerk Maxwell zu seinen Fundamentalgleichungen des Elektromagnetismus gelangte. Die Bewegungsgleichungen können vom mechanischen System auf das analoge übertragen werden, wodurch die Lagrangegleichungen eine universelle Bedeutung für die ganze Physik gewannen.

Mechanisch ähnliches Verhalten von Systemen fiel schon Aristoteles, Galileo Galilei und Isaac Newton auf aber erst M. J. Bertrand hat das Prinzip der mechanischen Ähnlichkeit von der Punktmechanik ausgehend in voller Strenge ausgesprochen.

Anwendungsbereiche und Limitierungen Die Idealisierung eines Körpers als Massenpunkt ist probat, wenn eine charakteristische Abmessung des Körpers klein ist gegen die Genauigkeit, mit der Längenmessungen vorgenommen werden, und Fehler in der Größenordnung des Verhältnisses der gleich null gesetzten Strecken zu den anderen Strecken in kauf genommen werden können. Der Ort des Massenpunkts ist im Allgemeinen der Massenmittelpunkt oder – was oft dasselbe ist – der Schwerpunkt des von ihm repräsentierten Körpers.

Effekte, die auf die Ausdehnung realer Körper zurückgehen, kann die Punktmechanik nicht behandeln. Eigendrehung mit Präzession und Nutation oder Verformungen können zutreffender mit anderen Disziplinen wie Starrkörper- oder Kontinuumsmechanik abgebildet werden, wo die Mathematik jedoch ungleich komplizierter ist, nicht zuletzt, weil der Starrkörper sechs und der verformbare unendlich viele Freiheitsgrade besitzt. Die Bedeutung des Drallsatzes als unabhängiges Prinzip ist in der Punktmechanik nicht darstellbar, siehe Drallsatz in der Punktmechanik, denn in der Punktmechanik ist die Drehimpulserhaltung eine Konsequenz der Impulserhaltung und davon, dass Massenpunkte nur Zentralkräfte aufnehmen können.

Seit der Begründung der theoretischen Physik durch Isaac Newton 1687 wird die elementare Punktmechanik in den Lehrbüchern praktisch unverändert dargestellt, und das obwohl sie in mancher Hinsicht logisch unbefriedigend ist. Diese Mängel in der Newton’schen Mechanik wurden durch die Relativitätstheorie und Quantenmechanik behoben, doch es gibt eine beträchtliche Anzahl von Aussagen, die in der klassischen und der modernen Physik gleich lauten. Diese Aussagen betreffen sämtlich fundamentale physikalische Größen, die Prozesse durch ihren Austausch beschreiben. So ist der Newton’schen, Einstein’schen und der Quantenmechanik gemeinsam, dass zusammenstoßende Körper oder Teilchen Impuls und Energie austauschen. Nur die Kinematik, also die geometrische Darstellung der Bewegung durch den Raum, ist in der modernen Physik und der klassischen Mechanik grundverschieden.

Punktmechanik kontra Kontinuumsmechanik Die Punktmechanik, d. h. die Mechanik der Systeme von Massenpunkten, wurde, wie oben berichtet, von Newton begründet, von Lagrange weitergeführt und von Poisson in der heute noch gebräuchlichen Form dargestellt. Der Begründer der Kontinuumsmechanik ist Euler. Er begründete nacheinander die Hydrodynamik, die Dynamik starrer Körper und die Elastizitätstheorie. In der Punktmechanik sind alle relevanten Größen Summen über die einzelnen Massenpunkte, in der Kontinuumsmechanik sind sie Integrale.

Wie zu Punkt oder Kontinuum im Allgemeinen gibt es zur Punktmechanik und/oder Kontinuumsmechanik unterschiedliche Ansichten. Der hoch geschätzte Spezialist für Mechanik, der Mathematiker Georg Hamel, schrieb im Jahr 1912: Der dritte Abschnitt enthält zunächst die Grundlagen einer allgemeinen Mechanik: strenge Ableitung des Schwerpunktsatzes und des Momentensatzes für beliebige Systeme auf Grund der Mechanik des Volumelementes. Nicht also aus der sogenannten Punktmechanik, die überhaupt (bis auf eine kurze Darstellung am Schlüsse des ersten Abschnittes, aus historischen Gründen) aus diesem Buche verbannt ist. Daß unsere Lehrbücher sonst noch immer die Punktmechanik traktieren, ist ein seltsamer Anachronismus: Punktmechanik paßte ausgezeichnet ins 18. Jahrhundert, aber nicht mehr in unsere Zeit, für die weder das Planetenproblem die einzige eines Mathematikers würdige Aufgabe der Mechanik ist, noch auch das Molekel die Quintessenz einer naturwissenschaftlichen Weltanschauung.

Der Physiker Dieter Meschede schreibt andererseits in dem verbreiteten Lehrbuch Gerthsen Physik in der 25. Auflage von 2015: Aus der Punktmechanik kann man logisch einwandfrei die Mechanik des starren Körpers (Kap. 2) und die der deformierbaren Körper (Kap. 3) entwickeln, indem man diese als Systeme unendlich vieler Massenpunkte mit festen bzw. veränderlichen relativen Lagebeziehungen auffasst.

Der Begriff Punktmechanik tritt in deutschsprachigen (physikalischen) Büchern etwa ab dem Jahr 1894, der Begriff Kontinuumsmechanik ab 1919 auf. Ab etwa dem Jahr 1958 findet man Kontinuumsmechanik häufiger als Punktmechanik.Google Books Ngram Viewer: Punktmechanik, Kontinuumsmechanik Die Häufigkeit des Auftretens von Punktmechanik hat ihr Maximum im Jahr 1947 und verläuft etwa proportional zur Häufigkeit des Auftretens des Begriffs Atomphysik. Google Books Ngram Viewer: Punktmechanik, Atomphysik Die Häufigkeit des Auftretens von Kontinuumsmechanik hat ihr Maximum im Jahr 1995 und verläuft etwa proportional zur Häufigkeit des Auftretens des Begriffs Festkörperphysik.Google Books Ngram Viewer: Kontinuumsmechanik, Festkörperphysik

Bewegungsgleichungen und Integrale der Bewegung Die Bewegung eines Massenpunkts wird durch seinen dreidimensionalen Ortsvektor als Funktion des Zeitparameters beschrieben, der wie eine zusätzliche Koordinate behandelt wird. Während der Massenpunkt durch den Raum wandert, kann durch Zeitableitungen seine Geschwindigkeit und Beschleunigung ermittelt werden. In physikalischen Gesetzen wie Newton’s Gravitationsgesetz oder dem Coulomb-Gesetz ist umgekehrt die Beschleunigung des Massenpunkts vorgegeben und das Weg-Zeit-Gesetz ergibt sich dann durch zweifache Zeitintegration. Eine Schar von Bahnkurven kennzeichnen den zum Beschleunigungsverlauf gehörigen Bewegungstyp. So sind die Keplerbahnen der Bewegungstyp der Planeten im Gravitationsfeld des Sonnensystems.

Von Bedeutung sind Größen, die für einen sich bahntypisch bewegenden Körper über die Zeit konstant sind. Diese Konstanten werden Integrale der Bewegung oder erste Integrale eines Bewegungstyps genannt und haben in den Erhaltungssätzen fundamentale Vertreter. Beispielsweise ist die Gesamtenergie eines isolierten Systems von Massenpunkten aufgrund des Energieerhaltungssatzes ein Integral der Bewegung. Aus den ersten Integralen lassen sich häufig wichtige Schlüsse über den Verlauf der Bewegung ziehen, siehe beispielsweise den folgenden Abschnitt #Newton’s Gravitationsgesetz. Die Integrale sind eine Funktion des Ortes und der Geschwindigkeit aber entlang der Bahnkurve konstant, weswegen der Funktionswert schon mit den Anfangsbedingungen festliegt.

Newton’s Gravitationsgesetz

mini|Zwei sich anziehende Massenpunkte m1 und m2 Das Newton’sche Gravitationsgesetz besagt, dass zwei wechselwirkende Massenpunkte aufeinander zu beschleunigt werden, was sich als Anziehungskraft bemerkbar macht, siehe Bild. In moderner Sichtweise ist das Gravitationsfeld ein Beschleunigungsfeld und kein Kraftfeld. Newton hatte aus den Kepler’schen Gesetzen sein Gravitationsgesetz hergeleitet und Johann I Bernoulli konnte 1710 zeigen, dass eine dem Quadrat des Abstands reziproke Zentralkraft wie bei Newtons Gesetz stets zu einer Keplerbewegung auf einem Kegelschnitt führt.

Der Bewegungstyp der Newton’schen Gravitationstheorie sind dementsprechend Keplerbahnen, wie sie Himmelskörper verfolgen. Das Bewegungsintegral in Form der spezifischen Bahnenergie bestimmt den Bewegungstyp, der ellipsen-, hyperbel- oder parabelförmig ist, je nachdem das Integral negativ, positiv oder null ist. Das Zweikörperproblem kann analytisch gelöst werden, was beim Dreikörperproblem und N-Körper-Problem mit N > 3 im Allgemeinen nicht (analytisch) möglich ist.

Bei gravitativ wechselwirkenden Massenpunkten existieren sieben Integrale der Bewegung, die auf die Erhaltungssätze von Impuls, Drehimpuls und Energie zurückgehen. Am Impuls- und Energieaustausch zwischen den Körpern beteiligt sich auch das von ihnen erzeugte Gravitationsfeld, das im Gegensatz zu den Massenpunkten nicht lokalisierbar, sondern über den gesamten Raum ausgebreitet ist. Das Newton’sche Gravitationsfeld kann Energie aufnehmen, nicht aber Impuls, den es deshalb unverzüglich an andere Massenpunkte wieder abgibt (Prinzip Actio und Reactio).

Die im Zweikörpersystem des Zweikörperproblems gespeicherte, konstante Gesamtenergie kann aufgespalten werden in die Schwerpunkts- oder äußere Energie, die die konstante kinetische Energie des Schwerpunkts ist, und die daher ebenfalls konstante innere Energie. Die Schwerpunktsenergie kann durch Übergang ins Schwerpunktsystem, in dem der Gesamtimpuls verschwindet, auf null reduziert werden, während die innere Energie invariant gegen Galilei-Transformationen ist. In Abwesenheit von Gesamtimpuls ist die Gesamtenergie minimal und gleicht der inneren Energie. Mit dieser Zerlegung vereinfacht sich die Lösung des Zweikörperproblems. Die Aufspaltung in wegtransformierbare äußere Energie und einen Minimalwert der Energie, die innere oder Ruheenergie, ist auch in der Einstein’schen Mechanik von Bedeutung.

Dynamik Die Dynamik beschreibt die Bewegung eines Körpers so, dass der Körper im Lauf der Bewegung bestimmte austauschbare physikalische Größen von anderen Körpern oder Systemen aufnimmt oder an diese abgibt. In der Punktmechanik sind Impuls, Drehimpuls und Energie austauschbar und für sie gelten Erhaltungssätze (Impulserhaltungssatz, Drehimpulserhaltungssatz, Energieerhaltungssatz). Sie können daher weder erzeugt noch vernichtet, sondern nur aufgenommen, abgegeben oder behalten werden. Das Gravitationsfeld beteiligt sich an dem Austausch und vermag Impuls und Energie von einem Körper auf andere zu übertragen.

Impulsbilanz