mini|Abb. 1: Die Drehung und Streckung von materiellen Linienelementen h (rot) bei einer Deformation wird mit einem Vektorgradient beschrieben Der Gradient eines Vektorfeldes oder kurz Vektorgradient (von ) fasst das Gefälle oder den Anstieg der Komponenten eines Vektorfeldes zu einem mathematischen Objekt zusammen. Während mit dem Gradient eines Skalarfeldes das Gefälle oder der Anstieg in einer bestimmten Richtung (sog. Richtungsableitung) als Skalar angegeben wird, stellt die Richtungsableitung mit dem Vektorgradient einen Vektor dar.
Ein anschauliches Beispiel ist das Vektorfeld der Bewegung der Partikel eines Körpers. Der Deformationsgradient transformiert die Strecke von einem Partikel zu einem benachbarten Partikel des Körpers im undeformierten Zustand – das ist die vorgegebene Richtung h – in die entsprechende Strecke im deformierten Zustand, was die Richtungsableitung in Richtung h ist, siehe Bild. Die Strecke h kann bei der Deformation gedreht und gestreckt werden. Die Richtungsableitung mit maximalem Wert ist hier diejenige Richtung, in der der Körper die größte Dehnung erfährt; in dieser Richtung benachbarte Partikel entfernen sich im Zuge der Verformung am weitesten voneinander, siehe auch #Verformungen und die #Beispiele.
Der Gradient eines Vektorfeldes entsteht aus dem Vektorfeld durch Anwendung des Gradientenoperators grad, der eine Verallgemeinerung der Ableitung in der mehrdimensionalen Analysis ist. Zur besseren Abgrenzung zwischen Operator und Resultat seiner Anwendung bezeichnen manche Quellen den Gradient vektorieller Feldgrößen als Vektorgradient.
Der Gradient hat tensorielle Eigenschaften: der Gradient eines Skalarfeldes (Tensorfeld nullter Stufe) führt auf ein Gradientenvektorfeld, das ein Tensorfeld erster Stufe ist. Entsprechend ist der Vektorgradient ein Tensorfeld zweiter Stufe; das Ergebnis lässt sich bezüglich einer Orthonormalbasis als Matrix schreiben. Die Komponenten des Vektorgradienten sind die kovarianten Ableitungen der Komponenten des Vektorfeldes in einem Punkt; bei den Basisvektoren sind dies die Christoffelsymbole.
Der Gradient wird zusammen mit anderen Differentialoperatoren wie Divergenz und Rotation in der Tensoranalysis untersucht.
Definition Der Gradient eines differenzierbaren Vektorfeldes nähert dieses in der Umgebung eines Punkts linear an:
für
Das Landau-Symbol steht für Terme, die langsamer als wachsen, und stellt eine lineare Funktion von dar. Wenn der Gradient existiert, ist er eindeutig und kann aus dem Gâteaux-Differential
berechnet werden. In einem euklidischen Vektorraum mit Standardskalarprodukt „·“ ergibt sich der Vektorgradient aus der Anwendung des skalaren Operators , der mit dem Nabla-Operator gebildet wird:
So werden auch Gradienten für Tensorfelder zweiter Stufe oder allgemein Tensorfelder n-ter Stufe definiert. Durch Gradientenbildung entsteht aus einem Tensorfeld n-ter Stufe ein Tensorfeld der Stufe n+1.
Bei einem Vektorfeld, das ein Tensorfeld erster Stufe ist, ergibt sich als Gradient ein Tensorfeld zweiter Stufe und zwar durch Nutzung des dyadischen Produkts „⊗“:
Das hochgestellte ⊤ bedeutet eine Transponierung. In einigen Quellen wird
und in anderen
definiert, was wegen des nicht kommutativen dyadischen Produkts einen nicht unerheblichen Unterschied ausmacht, der beispielsweise bei der #Produktregel und der Richtungsableitung zu beachten ist.
Hier wird die erstere Form (die ohne Tilde) als Konvention benutzt.
Schreibweisen Die vielfältigen Anwendungen haben zu variantenreichen Schreibweisen geführt.
In der Kontinuumsmechanik ist es üblich, Größen, die sich auf den undeformierten Ausgangszustand eines Körpers beziehen, groß zu schreiben, und solche, die sich auf den deformierten Zustand beziehen, klein. Entsprechend bedeuten GRAD oder Grad Gradienten im undeformierten Körper und grad einen Gradient im deformierten. Andere Notationen mit dem Nabla-Operator benutzen 𝜵X, 𝜵0 für den Operator im undeformierten Körper und 𝜵x, 𝜵t für den im deformierten.
Es wird auch
geschrieben.
Geometrische Interpretation Das eingangs aufgeführte Beispiel des Deformationsgradienten soll hier vertieft werden. Dazu sei das Vektorfeld in einer nahen Umgebung eines Punkts als Bewegungsfeld der Partikel einer Gummihaut interpretierbar, was der Fall ist, wenn der Vektorgradient invertierbar ist, es also eine Eins-zu-eins-Beziehung zwischen Raumpunkten und ihren Bildern gibt. Bezeichnen im undeformierten Körper Großbuchstaben die Orte von Partikeln und Kleinbuchstaben ihre Orte im deformierten, dann stellt man folgendes fest.
Auf der Haut wird ein Kreis gezeichnet und wenn man nun die Gummihaut lang zieht, wird der Kreis zu irgendeiner geschlossenen Kurve, siehe Abb. 3. Mit kleiner werdendem Radius des Kreises nähert sich sein Bild jedoch einer Ellipse. Ein Pfeil MP vom Mittelpunkt M zu einem Partikel P auf dem Umfang des Kreises wird zu mp gedehnt und verdreht, wobei p auf der Ellipse liegt. Die Transformation von MP zu mp leistet beim kleinen Kreis die mit dem Vektorgradient gebildete Richtungsableitung. Diese lineare Annäherung des Vektorfeldes mittels der Richtungsableitung in der Umgebung des Punkts ist die definierende Eigenschaft eines Gradienten.
Die betraglich größte Änderung der Positionsdifferenzen mp zu MP tritt in der Richtung auf, in der der Körper die größte Dehnung erfährt. Auf der Gummihaut landet das Partikel P im Kreis auf der Hauptachse der Ellipse (bei p). Die Richtung der größten betraglichen Änderung erhält man hier als Lösung eines Eigenwertproblems, jedoch nicht des Deformationsgradienten, sondern des mit ihm gebildeten Strecktensors, siehe #Zusammenhang mit der Richtungsableitung und #Beispiele.
Markiert man im undeformierten Körper ein Partikel A und ein (infinitesimal) nahe benachbartes B und trägt im deformierten Körper vom Ort a des Partikels A die Richtungsableitung in Richtung AB auf, dann landet man im deformierten Körper am Ort b des Partikels B. Genauso kann man in b die Richtungsableitung in Richtung BC zu einem benachbarten Partikel C auftragen und landet im deformierten Körper an dessen Ort c. Diese Prozedur kann man beliebig oft wiederholen, die Integralrechnung gestattet sogar unendliche Wiederholungen mit infinitesimalen Schritten. So gelangt man von a aus an den Ort p eines beliebigen Partikels P und zwar unabhängig vom eingeschlagenen Weg von A nach P. Diese Wegunabhängigkeit zeichnet Gradientenfelder aus.
Koordinatendarstellung Zwecks kompakter Darstellung bezeichnet im Folgenden ein Index hinter einem Komma die Ableitung nach einer Koordinate:
Hier ist die vereinbarte Konvention zu beachten.
Kartesische Koordinaten In kartesischen Koordinaten mit Standardbasis êi lautet der Vektorgradient eines Vektorfeldes mit Koeffizienten
mit
.
In drei Dimensionen ist speziell
Die Vektorgradienten der Basisvektoren verschwinden hier, da sie ortsunabhängig sind.
Zylinderkoordinaten In Zylinderkoordinaten mit radialer Koordinate ρ, Azimut φ und Höhe z über der ρφ-Ebene lauten die Basisvektoren mit dem Sinus und Cosinus
und der Vektorgradient einer Vektorfunktion :
mit
Die Terme in der zweiten Zeile oben sind Ergebnis der Vektorgradienten der Basisvektoren:
Kugelkoordinaten In Kugelkoordinaten mit Abstand r vom Ursprung, Zenitwinkel ϑ und Azimut φ lauten die Basisvektoren mit dem Sinus und Cosinus
und der Vektorgradient einer Vektorfunktion :
mit
dem Tangens tan und dem Einheitstensor 1 = êr ⊗ êr + êϑ ⊗ êϑ + êφ ⊗ êφ.
Die Terme in der zweiten Zeile oben sind Ergebnis der Vektorgradienten der Basisvektoren:
Allgemein krummlinige Koordinaten In krummlinigen Koordinaten lauten die ko- und kontravarianten Basisvektoren
Das Symbol ist das Kronecker-Delta und der Index ,i bedeutet in diesem Abschnitt eine Ableitung nach yi. Der Nabla-Operator schreibt sich in krummlinigen Koordinaten
Hier wie im Folgenden muss die Einsteinsche Summenkonvention angewendet werden, der gemäß über in einem Produkt doppelt vorkommende Indizes, hier nur i, von eins bis zur Dimension des Raumes zu summieren ist.
Kontravariantes Vektorfeld Die #Produktregel angewandt auf ein kontravariantes Vektorfeld führt zu
Der Gradient des kovarianten Basisvektors kann mit den Christoffelsymbolen ausgedrückt werden:
Mit lautet der Gradient schließlich
Darin ist die sogenannte kovariante Ableitung der Komponente .
Kovariantes Vektorfeld Bei einem kovarianten Vektorfeld wird die Ableitung des kontravarianten Basisvektors benötigt, eine Ableitung, die auch mit Christoffelsymbolen ausgedrückt werden kann:
Der Gradient eines kontravarianten Basisvektors schreibt sich damit
Die #Produktregel liefert analog zum kontravarianten Vektor
mit der kovarianten Ableitung der Komponente .
Eigenschaften Es ist die hier vereinbarte #Konvention zu beachten.
Zusammenhang mit dem totalen Differenzial Betrachtet wird eine infinitesimale Verschiebung in einem Vektorfeld:
Das vollständige oder totale Differenzial eines Vektorfeldes ist:
bzw. in Indexschreibweise
Das totale Differenzial eines Skalarfeldes und eines Vektorfeldes haben somit (formal) dieselbe Form. Beim totalen Differenzial eines Skalarfeldes wird der Gradient mit dem Differenzial skalar multipliziert. Beim totalen Differenzial eines Vektorfeldes ist die Multiplikation zwischen dem Gradient (Matrixform) mit dem Differenzialvektor als Matrix-Vektor-Produkt durchzuführen.
Zusammenhang mit der Richtungsableitung Mit dem Vektorgradient kann die Richtungsableitung in Richtung eines Vektors berechnet werden:
Das hochgestellte ⊤ bedeutet eine Transponierung. In der Strömungsmechanik wird die linke Darstellung mit dem Nabla-Operator gegenüber der rechten bevorzugt, die in der Kontinuumsmechanik üblich ist. Die mithilfe des Vektorgradienten berechnete Richtungsableitung entspricht der Richtungsableitung, die man durch Grenzwertbildung bekommt:
für alle
Interessiert diejenige Richtung , in der die Richtungsableitung maximalen Betrag hat, ergibt sich das Eigenwertproblem
Der Tensor ist symmetrisch und positiv semidefinit, sodass alle Eigenwerte reell und nicht negativ sind. Der zum größten Eigenwert gehörende Eigenvektor liefert die Richtung, in der die Richtungsableitung den größten Betrag hat.
Denn die Zielgröße ist
Ein Extremum unter der Nebenbedingung berechnet sich mit einem Lagrange-Multiplikator λ:
Im Extremum müssen die Ableitungen nach allen Variablen verschwinden. Die Ableitung nach dem Lagrange-Multiplikator
bedeutet, dass wie gewünscht die Nebenbedingung notwendig eingehalten wird. Die Ableitung nach in Richtung liefert
weil C symmetrisch ist. Da dies für alle gelten soll, ist das gleichbedeutend mit dem oben angegebenen Eigenwertproblem.
Zusammenhang mit Rotation und Divergenz Der Vektorgradient beinhaltet alle partiellen Ableitungen der Komponenten eines Vektorfeldes, die bei der Rotation und Divergenz eines Vektorfeldes gebraucht werden. Es ist zu vermuten, dass diese Operatoren aus dem Gradient eines Vektorfeldes ableitbar sind. Tatsächlich ist
für alle konstanten Vektoren . Der Tensor in der eckigen Klammer ist schiefsymmetrisch und dessen dualer axialer Vektor (·)× ist die Rotation. Der duale axiale Vektor ist die negative Hälfte der Vektorinvariante , bei der das dyadische Produkt ⊗ durch das Kreuzprodukt × ersetzt ist:
Die Spur des Vektorgradienten liefert die Divergenz:
Rechenregeln Für alle Konstanten , , total differenzierbaren Skalarfelder und Vektorfelder gilt mit der vereinbarten #Konvention :
Linearität
Produktregel
In drei Dimensionen ist speziell
Integralsätze
Dabei ist der Integrationsweg von nach beliebig. Diese Wegunabhängigkeit zeichnet Gradientenfelder aus.
Hier ist ein zweimal stetig differenzierbares Feld und der nach außen gerichtete Normaleneinheitsvektor auf der geschlossenen Oberfläche A des Volumens V.
Anwendungen Es ist die hier vereinbarte #Konvention zu beachten.
Verformungen
mini|Abb. 2: Verlagerung von materiellen Linien