In der Zahlentheorie ist eine Williams-Zahl zur Basis b eine natürliche Zahl der Form mit ganzzahligem und .Steven Harvey: Search for Williams primes Sie wurden nach dem kanadischen Mathematiker Hugh C. Williams benannt, der sich erstmals im Jahr 1981 mit diesen Zahlen beschäftigt hat.
Williams-Zahlen zur Basis haben die Form und sind genau die Mersenne-Zahlen.
Williams-Primzahlen Eine Williams-Primzahl ist eine Williams-Zahl, welche prim ist. Die kleinsten , sodass eine Primzahl ist, sind die folgenden (wobei mit gestartet wird): 2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 14, 1, 1, 2, 6, 1, 1, 1, 55, 12, 1, 133, 1, 20, 1, 2, 1, 1, 2, 15, 3, 1, 7, 136211, 1, 1, 7, 1, 7, 7, 1, 1, 1, 2, 1, 25, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 899, 3, 11, 1, 1, 1, 63, 1, 13, 1, 25, 8, 3, 2, 7, 1, 44, 2, 11, 3, 81, 21495, 1, 2, 1, 1, 3, 25, 1, 519, 77, 476, 1, 1, 2, 1, 4983, 2, 2 … Es wird vermutet, dass es unendlich viele Williams-Primzahlen zur Basis gibt.
Es folgt eine Tabelle, der man die kleinsten Williams-Primzahlen zur Basis mit entnehmen kann (falls auch Lösung wäre, steht diese in Klammer, da eigentlich nicht erlaubt ist, der Vollständigkeit aber mit angeführt wird): , sodass Williams-Primzahlen sind OEIS-Link 2 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, 74207281, 77232917, 82589933 … (alle Mersenne-Primzahl-Exponenten) () 3 1, 2, 3, 7, 8, 12, 20, 23, 27, 35, 56, 62, 68, 131, 222, 384, 387, 579, 644, 1772, 3751, 5270, 6335, 8544, 9204, 12312, 18806, 21114, 49340, 75551, 90012, 128295, 143552, 147488, 1010743, 1063844, 1360104 … () 4 (0), 1, 2, 3, 9, 17, 19, 32, 38, 47, 103, 108, 153, 162, 229, 235, 637, 1638, 2102, 2567, 6338, 7449, 12845, 20814, 40165, 61815, 77965, 117380, 207420, 351019, 496350, 600523, 1156367, 2117707, 5742009, 5865925, 5947859 … () 5 (0), 1, 3, 9, 13, 15, 25, 39, 69, 165, 171, 209, 339, 2033, 6583, 15393, 282989, 498483, 504221, 754611, 864751 … () 6 1, 2, 6, 7, 11, 23, 33, 48, 68, 79, 116, 151, 205, 1016, 1332, 1448, 3481, 3566, 3665, 11233, 13363, 29166, 44358, 58530, 191706, 386450, 605168, 616879 … () 7 (0), 1, 2, 7, 18, 55, 69, 87, 119, 141, 189, 249, 354, 1586, 2135, 2865, 2930, 4214, 7167, 67485, 74402, 79326 … () 8 3, 7, 15, 59, 6127, 8703, 11619, 23403, 124299 … () 9 (0), 1, 2, 5, 25, 85, 92, 97, 649, 2017, 2978, 3577, 4985, 17978, 21365, 66002, 95305, 142199 … () 10 1, 3, 7, 19, 29, 37, 93, 935, 8415, 9631, 11143, 41475, 41917, 48051, 107663, 212903, 223871, 260253, 364521, 383643, 1009567 … () 11 1, 3, 37, 119, 255, 355, 371, 497, 1759, 34863, 50719, 147709, 263893 … () 12 1, 2, 21, 25, 33, 54, 78, 235, 1566, 2273, 2310, 4121, 7775, 42249, 105974, 138961 … () 13 (0), 2, 7, 11, 36, 164, 216, 302, 311, 455, 738, 1107, 2244, 3326, 4878, 8067, 46466 … () 14 1, 3, 5, 27, 35, 165, 209, 2351, 11277, 21807, 25453, 52443 … () 15 (0), 14, 33, 43, 20885 … 16 1, 20, 29, 43, 56, 251, 25985, 27031, 142195, 164066 … 17 1, 3, 71, 139, 265, 793, 1729, 18069 … 18 2, 6, 26, 79, 91, 96, 416, 554, 1910, 4968 … 19 (0), 6, 9, 20, 43, 174, 273, 428, 1388 … 20 1, 219, 223, 3659 … 21 (0), 1, 2, 7, 24, 31, 60, 230, 307, 750, 1131, 1665, 1827, 8673 … 22 1, 2, 5, 19, 141, 302, 337, 4746, 5759, 16530 … 23 55, 103, 115, 131, 535, 1183, 9683 … 24 12, 18, 63, 153, 221, 1256, 13116, 15593 … 25 (0), 1, 5, 7, 30, 75, 371, 383, 609, 819, 855, 7130, 7827, 9368 … 26 133, 205, 215, 1649 … 27 1, 3, 5, 13, 15, 31, 55, 151, 259, 479, 734, 1775, 2078, 6159, 6393, 9013 … 28 20, 1091, 5747, 6770 … 29 1, 7, 11, 57, 69, 235, 16487 … 30 2, 83, 566, 938, 1934, 2323, 3032, 7889, 8353, 9899, 11785 …
Die größte momentan bekannte Williams-Primzahl ist gleichzeitig die größte Mersenne-Zahl und die größte momentan bekannte Primzahl . Sie wurde am 21. Dezember 2018 vom US-Amerikaner Patrick Laroche entdeckt und hat 24.862.048 Stellen.282589933 - 1 auf Prime Pages (Stand: 28. Januar 2020)
Die größte momentan bekannte Williams-Primzahl mit einer Basis ist . Sie wurde am 23. Juni 2015 von Michael Schulz aus Deutschland entdeckt und hat 3.580.969 Stellen.3 · 211895718 - 1 auf Prime Pages3 · 211895718 - 1 auf primegrid.com (PDF) (Stand: 28. Januar 2020)
Die größte momentan bekannte Williams-Primzahl mit einer Basis , ist . Sie wurde am 31. Juli 2015 von Borys Jaworski entdeckt und hat 648.935 Stellen.2 · 31360104 - 1 auf Prime Pages (Stand: 28. Januar 2020)
Verallgemeinerungen Williams-Zahlen der 2. Art Eine Williams-Zahl der 2. Art zur Basis b ist eine natürliche Zahl der Form mit ganzzahligem und . Williams-Zahlen der 2. Art zur Basis haben die Form und sind genau die Fermat-Zahlen.
Eine Williams-Primzahl der 2. Art ist eine Williams-Zahl der 2. Art, welche prim ist. Die kleinsten , sodass eine Primzahl ist, sind die folgenden (wobei mit gestartet wird): 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 10, 3, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 29, 14, 1, 1, 14, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 5, 12, 2, 1, 2, 2, 9, 16, 1, 2, 80, 1, 2, 4, 2, 3, 16, 2, 2, 2, 1, 15, 960, 15, 1, 4, 3, 1, 14, 1, 6, 20, 1, 3, 946, 6, 1, 18, 10, 1, 4, 1, 5, 42, 4, 1, 828, 1, 1, 2, 1, 12, 2, 6, 4, 30, 3, 3022, 2, 1, 1, 8, 2, 4, 4, 2, 11, 8, 2, 1 … () Es wird vermutet, dass es unendlich viele Williams-Primzahlen der 2. Art zur Basis gibt.
Es folgt eine Tabelle, der man die kleinsten Williams-Primzahlen 2. Art zur Basis mit entnehmen kann (falls auch Lösung wäre, steht diese in Klammer, da eigentlich nicht erlaubt ist, der Vollständigkeit aber mit angeführt wird): , sodass Williams-Primzahlen der 2. Art sind OEIS-Link 2 1, 2, 4, 8, 16 … (alle Fermat-Primzahl-Exponenten) 3 (0), 1, 2, 4, 5, 6, 9, 16, 17, 30, 54, 57, 60, 65, 132, 180, 320, 696, 782, 822, 897, 1252, 1454, 4217, 5480, 6225, 7842, 12096, 13782, 17720, 43956, 64822, 82780, 105106, 152529, 165896, 191814, 529680, 1074726, 1086112, 1175232 … () 4 1, 3, 4, 6, 9, 15, 18, 33, 138, 204, 219, 267, 1104, 1408, 1584, 1956, 17175, 21147, 24075, 27396, 27591, 40095, 354984, 400989, 916248, 1145805, 2541153, 5414673 … () 5 (0), 2, 6, 18, 50, 290, 2582, 20462, 23870, 26342, 31938, 38122, 65034, 70130, 245538 … () 6 1, 2, 4, 17, 136, 147, 203, 590, 754, 964, 970, 1847, 2031, 2727, 2871, 5442, 7035, 7266, 11230, 23307, 27795, 34152, 42614, 127206, 133086 … () 7 (0), 1, 4, 9, 99, 412, 2633, 5093, 5632, 28233, 36780, 47084, 53572 … () 8 2, 40, 58, 60, 130, 144, 752, 7462, 18162, 69028, 187272, 268178, 270410, 497284, 713304, 722600, 1005254 … () 9 1, 4, 5, 11, 26, 29, 38, 65, 166, 490, 641, 2300, 9440, 44741, 65296, 161930 … () 10 3, 4, 5, 9, 22, 27, 36, 57, 62, 78, 201, 537, 696, 790, 905, 1038, 66886, 70500, 91836, 100613, 127240 … () 11 (0), 10, 24, 864, 2440, 9438, 68272, 148602 … () 12 3, 4, 35, 119, 476, 507, 6471, 13319, 31799 … () 13 (0), 1, 2, 4, 21, 34, 48, 53, 160, 198, 417, 773, 1220, 5361, 6138, 15557, 18098 … 14 2, 40, 402, 1070, 6840 … 15 1, 3, 4, 9, 11, 14, 23, 122, 141, 591, 2115, 2398, 2783, 3692, 3748, 10996, 16504 … 16 1, 3, 11, 12, 28, 42, 225, 702, 782, 972, 1701, 1848, 8556, 8565, 10847, 12111, 75122, 183600, 307400, 342107, 416936 … 17 (0), 4, 20, 320, 736, 2388, 3344, 8140 … 18 1, 6, 9, 12, 22, 30, 102, 154, 600 … 19 (0), 29, 32, 59, 65, 303, 1697, 5358, 9048 … 20 14, 18, 20, 38, 108, 150, 640, 8244 … 21 1, 2, 3, 4, 12, 17, 38, 54, 56, 123, 165, 876, 1110, 1178, 2465, 3738, 7092, 8756, 15537, 19254, 24712 … 22 1, 9, 53, 261, 1491, 2120, 2592, 6665, 9460, 15412, 24449 … 23 (0), 14, 62, 84, 8322, 9396, 10496, 24936 … 24 2, 4, 9, 42, 47, 54, 89, 102, 118, 269, 273, 316, 698, 1872, 2126, 22272 … 25 1, 4, 162, 1359, 2620 … 26 2, 18, 100, 1178, 1196, 16644 … 27 4, 5, 167, 408, 416, 701, 707, 1811, 3268, 3508, 7020, 7623, 16449 … 28 1, 2, 136, 154, 524, 1234, 2150, 2368, 7222, 10082, 14510, 16928 … 29 (0), 2, 4, 6, 44, 334, 24714 … 30 4, 5, 9, 18, 71, 124, 165, 172, 888, 2218, 3852, 17871, 23262 …
Die größte momentan bekannte Williams-Primzahl der 2. Art mit einer Basis , ist . Sie wurde am 14. Januar 2014 von Sai Yik Tang aus Malaysia entdeckt und hat 3.259.959 Stellen.3 · 210829346 + 1 auf Prime Pages3 · 210829346 + 1 auf primegrid.com (PDF) (Stand: 28. Januar 2020)
Die größte momentan bekannte Williams-Primzahl der 2. Art mit einer Basis , ist . Sie wurde am 22. Februar 2010 von David Broadhurst entdeckt und hat 560.729 Stellen.2 · 31175232 - 1 auf Prime Pages (Stand: 28. Januar 2020)
Williams-Zahlen der 3. Art Eine Williams-Zahl der 3. Art zur Basis b ist eine natürliche Zahl der Form mit ganzzahligem und . Man nennt sie auch Thabit-Zahl mit Basis b.
Williams-Zahlen der 3. Art zur Basis haben die Form und sind genau die Thabit-Zahlen.
Eine Williams-Primzahl der 3. Art ist eine Williams-Zahl der 3. Art, welche prim ist.
Es wird vermutet, dass es unendlich viele Williams-Primzahlen der 3. Art zur Basis gibt.
Es folgt eine Tabelle, der man die kleinsten Williams-Primzahlen 3. Art zur Basis mit entnehmen kann (falls auch Lösung wäre, steht diese in Klammer, da eigentlich nicht erlaubt ist, der Vollständigkeit aber mit angeführt wird): , sodass Williams-Primzahlen der 3. Art sind OEIS-Link 2 (0), 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 55, 64, 76, 94, 103, 143, 206, 216, 306, 324, 391, 458, 470, 827, 1274, 3276, 4204, 5134, 7559, 12676, 14898, 18123, 18819, 25690, 26459, 41628, 51387, 71783, 80330, 85687, 88171, 97063, 123630, 155930, 164987, 234760, 414840, 584995, 702038, 727699, 992700, 1201046, 1232255, 2312734, 3136255, 4235414, 6090515, 11484018, 11731850, 11895718 … () 3 (0), 1, 3, 5, 7, 15, 45, 95, 235, 463, 733, 1437, 1583, 1677, 1803, 4163, 4765, 9219, 9959, 25477, 26059, 41539, 54195, 65057, 74977, 116589, 192289, 311835, 350767, 353635, 416337, 423253 … () 4 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 16, 24, 27, 36, 74, 92, 124, 135, 137, 210, 670, 719, 761, 819, 877, 942, 1007, 1085, 1274, 1311, 1326, 1352, 6755 … 5 (0), 1, 2, 5, 11, 28, 65, 72, 361, 479, 494, 599, 1062, 1094, 1193, 2827, 3271, 3388, 3990, 4418, 11178, 16294, 25176, 42500, 68320, 85698, 145259, 159119, 169771 … () 6 1, 2, 3, 13, 21, 28, 30, 32, 36, 48, 52, 76, 734, 2236, 2272, 3135, 3968, 6654, 7059 … 7 (0), 4, 7, 10, 14, 23, 59, 1550, 1835, 2515, 3532, 3818, 8260 … 8 1, 5, 7, 21, 33, 53, 103, 313, 517, 1863, 2669, 3849, 4165 … 9 1, 2, 4, 5, 7, 10, 11, 13, 15, 19, 27, 29, 35, 42, 51, 70, 112, 164, 179, 180, 242, 454, 621, 2312, 3553, 6565 … 10 1, 9, 11, 17, 22, 29, 36, 37, 52, 166, 448, 2011, 3489, 4871, 6982, 10024, 16974, 33287, 47364, 58873, 126160 … () 11 (0), 1, 2, 3, 4, 11, 13, 22, 27, 48, 51, 103, 147, 280, 908, 1346, 1524, 1776, 2173, 2788, 6146 … 12 2, 6, 11, 66, 196, 478, 2968, 3568, 5411, 7790 …
Williams-Zahlen der 4. Art Eine Williams-Zahl der 4. Art zur Basis b ist eine natürliche Zahl der Form mit ganzzahligem und . Man nennt sie auch Thabit-Zahl der 2. Art mit Basis b.
Williams-Zahlen der 4. Art zur Basis haben die Form und sind genau die Thabit-Zahlen der 2. Art.
Eine Williams-Primzahl der 4. Art ist eine Williams-Zahl der 4. Art, welche prim ist.
Es gilt: Es gibt keine Williams-Primzahl der 4. Art mit Basis . Beweis: Wenn ist, gilt auch . Weiters ist . Somit erhält man . Also ist in diesem Fall immer durch teilbar und somit niemals eine Primzahl, was zu zeigen war.
Es wird vermutet, dass es unendlich viele Williams-Primzahlen der 4. Art zur Basis gibt.
Es folgt eine Tabelle, der man die kleinsten Williams-Primzahlen 4. Art zur Basis mit entnehmen kann (falls auch Lösung wäre, steht diese in Klammer, da eigentlich nicht erlaubt ist, der Vollständigkeit aber mit angeführt wird):