Zweikörperproblem in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Das Zweikörperproblem der Allgemeinen Relativitätstheorie ist eine Verallgemeinerung des Zweikörperproblems der klassischen Mechanik und bezeichnet die Problemstellung, die Bahnen zweier Körper zu berechnen, die sich aufgrund von Gravitationseinflüssen relativ zueinander bewegen. Das Problem wird im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie untersucht und war essentiell bei dem ersten experimentellen Nachweis des Gravitationslinseneffekts (Sonnenfinsternis 1919) durch Arthur Eddington.

Zur Vereinfachung werden die beiden Körper als punktförmig angenommen, um unter anderem Gezeitenkraft vernachlässigen zu können.

Die Allgemeine Relativitätstheorie beschreibt das Gravitationsfeld durch gekrümmte Raumzeit. Die Feldgleichungen, die diese Krümmung bestimmen, sind nichtlinear und daher in geschlossener Form schwer zu lösen. Eine genaue Lösung für das Kepler-Problem wurde bisher nicht gefunden, die Schwarzschild-Lösung ist aber für viele Fälle eine gute Näherung.

Diese Lösung beschreibt das Zweikörperproblem gut, wenn die Masse des einen Körpers deutlich größer ist als die Masse des anderen. In diesem Fall kann die größere Masse als stationär und als alleiniger Beitrag zum Gravitationsfeld angenommen werden. Diese Näherung beschreibt bspw. die Bewegung eines Photons, das einen Stern passiert, sehr gut. Die Bewegung des leichteren Körpers kann dann aus der Schwarzschild-Lösung bestimmt werden, es ergibt sich eine Geodäte in einer gekrümmten Raumzeit. Solche geodätischen Lösungen erklären die anomale Präzession des Planeten Merkur, die ein wichtiger Beweis für die Allgemeine Relativitätstheorie ist. Sie beschreiben auch die Biegung von Licht in einem Gravitationsfeld, eine weitere Vorhersage, die bekanntermaßen als Evidenz für die Allgemeine Relativitätstheorie dient.

Wenn angenommen wird, dass beide Massen wie bei Doppelsternen zum Gravitationsfeld beitragen, kann das Kepler-Problem nur annähernd gelöst werden. Die früheste zu entwickelnde Approximationsmethode war die postnewtonsche Expansion, eine iterative Methode, bei der eine anfängliche Lösung schrittweise korrigiert wird. In jüngerer Zeit ist es möglich geworden, Einsteins Feldgleichung mit einem Computer zu lösen (numerische Relativität). Wenn sich die beiden Körper umkreisen, emittieren sie Gravitationsstrahlung. Dies führt dazu, dass sie allmählich Energie und Drehimpuls verlieren, wie der binäre Pulsar PSR B1913+16 zeigt.

Für binäre Schwarze Löcher wurde nach vier Jahrzehnten der Forschung im Jahr 2005 eine numerische Lösung des Zweikörperproblems gefunden.

Historische Einordnung Lange Zeit galt Newtons Entdeckung der Gravitation als vollständig beschrieben. Mit seiner Theorie konnten zahlreiche Himmelsvorgänge sehr genau berechnet und vorhergesagt werden. Dass dieses Gesetz nicht vollständig ist, wurde erst im späten 19. Jahrhundert entdeckt. Die bisher aktuellste und genauste gut bestätigte Gravitationstheorie ist Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie, die er im Jahr 1915 veröffentlicht hat.

Die Keplerschen Gesetze mini|Die Abbildung zeigt die Bewegung eines Planeten auf einer elliptischen Bahn um die Sonne in einem der Brennpunkte der Ellipse nach dem ersten Keplerschen Gesetz Die erste Quantifizierung von Bewegungen am Himmel gelang dem Physiker Johannes Kepler im frühen 17. Jahrhundert durch die Formulierung seiner drei Keplerschen Gesetze. Durch zahlreiche Beobachtungen gelang es Kepler, drei Gesetzmäßigkeiten abzuleiten. Diese drei Gesetze lauten in Wortform wie folgt:

Die Umlaufbahn jedes Planeten um die Sonne ist eine Ellipse mit der Sonne in einem der beiden Brennpunkte. Ein von der Sonne zum Planeten gezogener Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen. Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben der großen Halbachsen ihrer Bahnellipsen.

Die Keplerschen Gesetze werden bis heute für einfache Probleme in der Astronomie verwendet, da sie für relativ zur Sonnenmasse kleine Planetenmassen und im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit kleine Geschwindigkeiten ziemlich genaue Ergebnisse liefern. Die Keplerschen Gesetze gelten auch als einer der Ausgangspunkte des klassischen Zweikörperproblems.

Das klassische Zweikörperproblem mini|220x220px|Das klassische Zweikörperproblem:Zwei Körper bewegen sich bei geeigneten Startbedingungen auf Kreisbahnen umeinander mini|Beim Keplerproblem sind die Bahnkurven der beiden Körper Ellipsen mit gleicher Apsidenlinie, gleicher Exzentrizität und gleicher Umlaufzeit um ihr als feststehend betrachtetes Baryzentrum (+)

Dem britischen Physiker Sir Isaak Newton gelang es im Jahre 1684 erstmals, die Gravitation zu quantifizieren. Seine Ergebnisse veröffentlichte er erstmals in großer Auflage in seiner Philosophiae Naturalis Principia Mathematica im Jahr 1687. Mit diesem Werk legte er aus heutiger Sicht den Grundstein für die Entwicklung einer konsistenten Gravitationstheorie.

Das Zweikörperproblem, das auf dem Newtonschen Gravitationsgesetz beruht, ist besonders in der Astronomie von herausragender Bedeutung, da es mit sehr großer Genauigkeit die Umlaufbahnen zweier Planeten (oder ähnlicher Objekte) beschreiben kann. Seine Lösung ist mathematisch etwas aufwendig, weshalb hier nur der Lösungsweg skizziert wird.

Durch Addition der Newtonschen Bewegungsgleichungen der zwei Teilchen

erhalten wir nach dem Wechselwirkungsprinzip (actio = reactio)

Nach Einführung von Schwerpunktkoordinaten ergibt sich wegen mit

eine Trägheitsbewegung für den Schwerpunkt des Zweikörpersystems: Er bewegt sich geradlinig gleichförmig, sein Ruhsystem ist ein Inertialsystem. Die Bewegung der einzelnen Massenpunkte lässt sich durch Übergang zu diesem sogenannten Schwerpunktsystem auf ein Einkörperproblem zurückführen:

Aus der Differentialgleichung

mit der reduzierten Masse erhalten wir den Verbindungsvektor , woraus sich dann insgesamt

für die Bewegung der beiden Massenpunkte ergibt.

Periheldrehung des Merkurs

Die ersten Zweifel an Newtons Gravitationsgesetz trat mit der Entdeckung der Periheldrehung des Merkurs auf.

Im Jahr 1859 entdeckte Urbain Le Verrier, dass die Umlaufbahn des Planeten Merkur von der prognostizierten Bahn der klassischen Mechanik abwich. Die Ellipse ihrer Umlaufbahn drehte sich etwas schneller als erwartet, obwohl alle Effekte der anderen Planeten berücksichtigt worden waren. Der Effekt ist gering (ungefähr 43 Bogensekunden pro Jahrhundert), liegt jedoch deutlich über dem Messfehler (ungefähr 0,1 Bogensekunden pro Jahrhundert).

Le Verrier erkannte schnell die Bedeutung seiner Entdeckung und begann nach Gründen für diesen Effekt zu suchen. Im Rahmen dieser Diskussion wurden zahlreiche Vermutungen angestellt: Durch Berücksichtigung von interplanetarischem Staub, einer unbeobachteten Vergänglichkeit der Sonne oder der Existenz eines neuen Planeten namens Vulkan könne diese Periheldrehung mit der klassischen Mechanik erklärt werden. Diese Erklärungen konnten das Phänomen jedoch nicht zufriedenstellend erklären, weshalb radikalere Hypothesen aufgestellt wurden. Eine Hypothese war, dass Newtons -Gesetz der Gravitation falsch war. Einige Physiker schlugen zum Beispiel ein Potenzgesetz mit einem Exponenten vor, der sich geringfügig von 2 unterschied.

Eine eindeutige und befriedigende Antwort wurde erst im Rahmen von Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie gegeben.

Die Allgemeine Relativitätstheorie 257x257px|mini|Die Messungen von Eddington bei einer Sonnenfinsternis im Jahr 1919 bestätigten den von Einstein postulierten Effekt der Krümmung von Lichtstrahlen und führte somit zur weltweiten Akzeptanz der Theorie

Zahlreiche Arbeiten aus dem Zeitraum 1904–1905 – u. a. Werke von Hendrik Lorentz, Henri Poincaré und schließlich Albert Einstein – schließen die Bewegung mit einer Geschwindigkeit über der des Lichtes aus. Daraus folgt, dass Newtons Gravitationsgesetz ergänzt werden muss, das – nach Einsteins Überlegungen – mit dem Relativitätsprinzip vereinbar sein muss und dennoch das Newtonsche Gravitationsgesetz für vernachlässigbare relativistische Effekte reproduziert. Solche Versuche unternahmen Henri Poincaré (1905), Hermann Minkowski (1907) und Arnold Sommerfeld (1910).

1907 kam Einstein zu dem Schluss, dass dazu seine Speziellen Relativitätstheorie erweitert werden müsse. Von 1907 bis 1915 arbeitete Einstein an einer neuen Theorie, wobei er sein Äquivalenzprinzip als Schlüsselbegriff verwendete. Das Äquivalenzprinzip besagt, dass ein gleichmäßiges Gravitationsfeld gleichermaßen auf alles in ihm wirkt und daher von einem frei fallenden Beobachter nicht unterschieden werden kann. Umgekehrt sollten alle lokalen Gravitationseffekte in einem linear beschleunigenden Bezugssystem reproduzierbar sein und umgekehrt.

Die Schwerkraft wirkt also wie eine Scheinkraft (wie die Zentrifugalkraft oder die Corioliskraft, die ausschließlich in beschleunigten Bezugssystemen auftreten). Alle Scheinkräfte sind proportional zur Trägheitsmasse, genau wie die Schwerkraft. Um die Vereinheitlichung von Schwerkraft und Spezieller Relativitätstheorie zu bewirken und das Äquivalenzprinzip zu berücksichtigen, muss die klassische Annahme, dass unser Raum den Gesetzen der euklidischen Geometrie gehorcht, aufgegeben werden.

Einstein verwendete eine allgemeinere Geometrie, die pseudo-Riemannsche Differentialgeometrie, um die notwendige Krümmung von Raum und Zeit zu berücksichtigen. Nach achtjähriger Arbeit (1907–1915) gelang es ihm, einen Zusammenhang zwischen Krümmung und Massenverteilung herzustellen, der die Gravitation erklären konnte. Die ersten Lösungen seiner Feldgleichungen lieferten die ungeklärte Präzession von Merkur und sagten eine Biegung des Lichts bei Anwesenheit von großen Massen voraus. Dieser Gravitationslinseneffekt wurde nach Veröffentlichung seiner Theorie bestätigt. Die Lösungen dieser Feldgleichungen und die mathematischen Grundlagen werden nachfolgend erläutert.

Mathematische Grundlagen der Allgemeinen Relativitätstheorie In einem flachen Raum gilt der bekannte Satz des Pythagoras

wobei , und die infinitesimalen Änderungen zwischen den -, - und -Koordinaten zweier Punkte in einem kartesischen Koordinatensystem bezeichnen. In einem gekrümmten Raum ist die Metrik durch

gegeben, wobei beliebige Funktionen des Ortes sind. Eine solche gekrümmte Metrik stellt bspw. die Erde dar. In Kugelkoordinaten lässt sich eine solche Metrik durch

beschreiben. In der Speziellen Relativitätstheorie (SRT) ist die Metrik in kartesischen Koordinaten durch

definiert, wobei die Invariante „Eigenzeit“ genannt wird. In Kugelkoordinaten lässt sich diese Metrik wie folgt notieren:

In der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) sind nun aber sowohl Zeit als auch Raum beliebig gekrümmt – weshalb wir den Abstand zweier Punkte allgemeiner formulieren müssen:

Hierbei bezeichnet den Metriktensor der Raumzeit. Der Metriktensor geht in der SRT in den Minkowski-Tensor über.

Die Bewegungsgleichungen der ART stellen einen Zusammenhang zwischen der Krümmung eines Raumes und der Massenverteilung her. Aus diesen Feldgleichungen lassen sich Bewegungsgleichungen ableiten, die wir für unser Zweikörperproblem brauchen werden.

Die Geodätengleichung

Nach der Allgemeinen Relativitätstheorie bewegen sich kräftefreie Teilchen in der Raumzeit auf Geodäten, also den kürzestmöglichen Verbindungen zwischen zwei Punkten. Für nichtgekrümmte Räume sind dies Geraden. Die Geodätengleichung lautet:Weinberg, 1972.

Hierbei ist ein Christoffelsymbol zweiter Art mit

Die Geodätengleichung ist neben den Feldgleichungen die wichtigste Gleichung zur Bestimmung von Umlaufbahnen unter Berücksichtigung von relativistischen Effekten. Die Geodätengleichung kann als Extremalproblem interpretiert werden: Ein Objekt bewegt sich immer auf der kürzesten Verbindung zwischen zwei Punkten. In flacher Raumzeit bewegen sich Objekte daher auf Geraden, in einer gekrümmten Raumzeit hingegen i. A. nicht.

Die Schwarzschildlösung