mini|hochkant=1.25|Barrow als Verschärfung von Erdös-Mordell Die Ungleichung von Barrow, benannt nach David Francis Barrow, ist eine Aussage über Abstände eines Punktes im Inneren eines Dreieckes zu bestimmten Punkten auf dessen Rand. Sie stellt eine Verschärfung der Ungleichung von Erdös-Mordell dar, die besagt, dass die Summe der Abstände von den Ecken immer mindestens doppelt so groß ist wie die Summe der Abstände von den Seiten.
Ungleichung Gegeben ist ein beliebiger Punkt im Inneren eines Dreiecks . Die Winkelhalbierenden der Winkel , und schneiden die Dreiecksseiten in den Punkten . Es gilt dann die folgende Ungleichung:Alexander Ostermann, Gerhard Wanner: Geometry by its History. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-29163-0, S. 222–224
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Barrow veröffentlichte 1937 einen Beweis zur Ungleichung von Erdös-Mordell, der die später nach ihm benannte Ungleichung als Zwischenschritt enthielt.
Verallgemeinerung Die Ungleichung von Barrow kann auf konvexe Polygone verallgemeinert werden. Für ein konvexes Polygon mit Eckpunkten und einem Punkt in seinem Inneren bezeichne die Punkte die beim Schnitt mit den Winkelhalbierenden der Winkel mit Polygonseiten entstehen. Es gilt dann die folgende Ungleichung:M. Dinca: A Simple Proof of the Erdös-Mordell Inequality. In: Articole si Note Matematice, 2009Hans-Christof Lenhard: Verallgemeinerung und Verschärfung der Erdös-Mordellschen Ungleichung für Polygone. In: Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung, Band 12, S. 311–314, doi:10.1007/BF01650566, MR 0133060.
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Hierbei bezeichnet die Sekansfunktion und im Fall erhält man wegen genau die Ungleichung von Barrow.
Literatur Jian Liu: Sharpened versions of the Erdös-Mordell inequality. In: Journal of Inequalities and Applications, Ausgabe 1, 2015 Alexander Ostermann, Gerhard Wanner: Geometry by its History. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-29163-0, S. 222–224 Branko Malesevic, Maja Petrovic: Barrow's Inequality and Signed Angle Bisectors. In: Journal of Mathematical Inequalities, Band 8, Nr. 3, 2014 Paul Erdös, L. J. Mordell, David F. Barrow: Solution to 3740. In: The American Mathematical Monthly, Band 44, Nr. 4 (April, 1937), S. 252–254 (JSTOR)
Einzelnachweise
Barrow, Ungleichung von Kategorie:Dreiecksgeometrie