mini|Alle vier primitiven pythagoreischen Quadrupel mit einstelligen WertenEin pythagoreisches QuadrupelZur Schreibweise: Im aktuellen Duden – Das große Wörterbuch der deutschen Sprache in zehn Bänden - ISBN 3-411-70360-1 wird das Adjektiv „pythagoreisch“ in dieser Schreibweise gegeben und die Schreibweise „pythagoräisch“ als österreichische Sonderform bezeichnet. ist ein Tupel von ganzen Zahlen , so dass gilt: . Es handelt sich dabei um die Lösungen einer diophantischen Gleichung. Meistens werden aber nur positive ganze Zahlen als Lösungen betrachtet.
Primitive pythagoreische Quadrupeln Ein pythagoreisches Quadrupel heißt primitives pythagoreisches Quadrupel, wenn die Werte positiv ganzzahlig sind und der größte gemeinsame Teiler der vier Werte gleich 1 ist (wenn also gilt). Jedes pythagoreische Quadrupel ist ein ganzzahliges Vielfaches eines primitiven pythagoreischen Quadrupels.
Beispiel 1: Das Tupel ist ein primitives pythagoreisches Quadrupel, weil ist und gilt.
Beispiel 2: Das Tupel ist kein primitives pythagoreisches Quadrupel, weil ist, obwohl gilt.
Beispiele Es gibt 31 primitive pythagoreische Quadrupel, bei denen alle Werte kleiner als 30 sind: 1 2 2 3 2 3 6 7 1 4 8 9 4 4 7 9 2 6 9 11 6 6 7 11 3 4 12 13 2 5 14 15 2 10 11 15 1 12 12 17 8 9 12 17 1 6 18 19 6 6 17 19 6 10 15 19 4 5 20 21 4 8 19 21 4 13 16 21 8 11 16 21 3 6 22 23 3 14 18 23 6 13 18 23 9 12 20 25 12 15 16 25 2 7 26 27 2 10 25 27 2 14 23 27 7 14 22 27 10 10 23 27 3 16 24 29 11 12 24 29 12 16 21 29 Aus diesen primitiven pythagoreischen Quadrupeln kann man beliebig viele weitere nicht-primitive pythagoreische Quadrupel bilden. Zum Beispiel kann man aus dem primitiven pythagoreischen Quadrupel durch Multiplikation mit die nicht-primitiven pythagoreischen Quadrupel , , etc. bilden.
Geometrische Deutung Ein pythagoreisches Quadrupel definiert einen Quader mit ganzzahligen Seitenlängen und (wobei mit der Betrag von gemeint ist). Die Raumdiagonale dieses Quaders hat dann eine ganzzahlige Länge . Pythagoreische Quadrupel heißen deswegen auf Englisch auch Pythagorean boxes.
Eigenschaften von pythagoreischen Quadrupeln Das pythagoreische Quadrupel mit dem kleinsten Produkt ist . Sei mit . Dann gilt: Das Produkt ist immer durch teilbar. Eine größere Zahl, die dieses Produkt teilt, gibt es nicht, denn für das kleinste pythagoreische Quadrupel (also für ) gilt . Somit kann es keine größere Zahl geben, die das Produkt teilt.
Erzeugung von pythagoreischen Quadrupeln Methode 1: Seien positive ganze Zahlen. Dann kann die Menge der pythagoreischen Quadrupel mit ungeradem wie folgt erzeugt werden:
Gelten zusätzlich die folgenden elf Bedingungen, dann kann damit die Menge von primitiven pythagoreischen Quadrupeln mit ungeradem erzeugt werden.
Alle primitiven pythagoreischen Quadrupel erfüllen somit die diophantische Gleichung , welche man auch Lebesguesche Identität nennt:
Beispiel 1: Sei und . Dann sind alle zusätzlichen Bedingungen erfüllt und es ist und und tatsächlich ist ein primitives pythagoreisches Quadrupel. Beispiel 2: Sei und . Dann ist die zusätzliche Bedingung zwar nicht erfüllt, es ist aber und wegen trotzdem ein pythagoreisches Quadrupel, allerdings mit . Beispiel 3: Sei und . Dann ist und und tatsächlich ist . Allerdings ist dieses pythagoreische Quadrupel nicht primitiv, weil und die Bedingung ist.
Methode 2: Alle pythagoreischen Quadrupel (inklusive der nicht-primitiven) können wie folgt aus zwei positiven ganzen Zahlen und erzeugt werden: Sei die Parität von und verschieden (sei also entweder gerade und ungerade oder ungerade und gerade). Sei weiters ein Faktor von mit . Dann gilt: und mit
Beispiel: Sei und . Dann sind alle Voraussetzungen erfüllt und es ist und (und es ist ) und tatsächlich ist .
Methode 3: Seien und gerade Zahlen. Sei außerdem ein Teiler von mit . Dann gilt: und Diese Methode erzeugt alle pythagoreischen Quadrupel exakt ein Mal, wenn und alle Paare natürlicher Zahlen durchlaufen und alle möglichen Werte für jedes Paar durchläuft.
Beispiel: Sei und . Dann sind alle Voraussetzungen erfüllt, , und es ist und und tatsächlich ist .
Es gibt kein pythagoreisches Quadrupel, bei dem mehr als eine der Zahlen , , ungerade ist.
Methode 4: Sei eine positive ganze Zahl. Dann kann ein pythagoreisches Quadrupel wie folgt erzeugt werden:
Beispiel: Sei , und . dann ist , und tatsächlich ist .
Methode 5: Seien drei positive ganze Zahlen. Dann lässt sich ein pythagoreisches Quadrupel wie folgt erzeugen:
Beispiel: Sei , und . So ist , , und tatsächlich ein pythagoreisches Quadrupel, denn . Hierbei handelt es sich um das Doppelte des primitiven Quadrupels.
Siehe auch Pythagoreisches Tripel Drei-Quadrate-Satz
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Einzelnachweise
Kategorie:Algebraische Zahlentheorie Kategorie:Ganzzahlmenge Kategorie:Zahlentheorie