rahmenlos|rechts|hochkant=1.6|Siebeneck nach Archimedes Das Siebeneck nach Archimedes (auch bekannt als Siebeneck im Kreise) bezeichnet das Konstruktionsverfahren von Archimedes für ein regelmäßiges Siebeneck. Es ist allerdings – wie jedes regelmäßige Siebeneck – nicht allein mit den klassischen Hilfsmitteln Zirkel und (unmarkiertem) Lineal exakt darstellbar.Ein regelmäßiges Vieleck, sprich n-Eck oder Polygon, ist nach Carl Friedrich Gauß nur dann konstruierbar: Wenn das Produkt einer Potenz von 2 mit paarweise voneinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen ist. Die bekannte Figur (siehe nebenstehendes Bild), von mehreren Übersetzern seines Werkes Siebeneck im Kreise als Neusis-Konstruktion bezeichnet, ist der überlieferten Ausarbeitung von Thabit ibn Qurra nachempfunden. Das darin eingezeichnete Siebeneck sowie dessen Umkreis sind nicht überliefert, sie dienen lediglich der Verdeutlichung. Es ist nicht bekannt, wie Archimedes das markierte Lineal zur Einschiebung (Neusis) nutzte, um den Punkt oder zu bestimmen.
Als Ansatz dient: Die Strecke ist gleich der Seitenlänge eines Siebenecks, wenn die beiden Dreiecke und den gleichen Flächeninhalt haben.
Die Aufgabe verlangt zu Beginn ein beliebiges Quadrat mit Verlängerung der Seite über hinaus und die Diagonale . Für die Weiterführung der Konstruktion sind zwei Varianten überliefert. Bei der ersten – die Archimedes zugeschrieben wird – bedarf es noch einer Transversalen, also einer ab Punkt schräg durch das Quadrat verlaufenden Halbgeraden. Dabei schneidet sie die Diagonale im Punkt , die Quadratseite im Punkt und bestimmt auf der Verlängerung den gesuchten Punkt (Abschnitt Konstruktion von Archimedes). Bei der zweiten Variante wird der Teilungspunkt auf der Quadratseite festgelegt und eine Parallele zu ab gezogen. Dabei entsteht der Schnittpunkt auf der Diagonale und auf (Abschnitt Teilungspunkt mithilfe eines Funktionsgraphen). In beiden Konstruktionsvarianten besitzen die erzeugten Dreiecke und den gleichen Flächeninhalt, sodass gilt: und .
Diese zwei Varianten sowie zwei zusätzliche, die ebenfalls den Endpunkt bestimmen (Abschnitte Endpunkt M mithilfe eines markierten Lineals und Endpunkt M mithilfe zweier Zickzacklinien) werden im Folgenden auf unterschiedliche Art und Weise erörtert. Wurde die Seitenlänge auf diese Art und Weise ermittelt, können anschließend, durch eine einfache weiterführende Konstruktion bei gegebenem Umkreis bzw. bei gegebener Seitenlänge, Siebenecke als Konstruktion mit Zirkel und unmarkiertem Lineal bestimmt werden.
Geschichte mini|hochkant=1|Archimedes, gemalt von Giuseppe Nogari vor 1766
In der Geschichte der Mathematik ist zum regelmäßigen Siebeneck wenig zu finden, insbesondere zu der Archimedes (287–212 v. Chr.) zugeschriebenenJan P. Hogendijk: „Die Zuschreibung an Archimedes erfolgt auch durch die arabischen Gelehrten Abu‘l-Jud, Al-Sijzi, Al-Kuhi, Al-Saghani, Al-Shanni, Ibn al-Haytham und Kamal Al-Din ibn Yunus. Der Name Archimedes und sogar der Name des Übersetzers Thabit ibn Qurra könnten jedoch von einem Schreiber dem Text hinzugefügt worden sein“ [Übersetzung].Jan P. Hogendijk: Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon. Kap. 2.4: The Greek origin of the construction. In: JSTOR Journal. Article in Archive for History of Exact Sciences, Band.30, Nr. 3/4 (1984), S. 211, Springer und im Folgenden beschriebenen Konstruktion aus seinem Buch über das „Siebeneck im Kreise …“. Es gibt jedoch dazu keine Dokumente, die Archimedes als Verfasser bestätigen. Das in griechischer Sprache verfasste Werk ist nur mehr in Abschriften vorhanden. Erst rund 1100 Jahre später, sprich im 9. Jahrhundert, hat Thabit ibn Qurra (826–901)In der Literatur findet man häufig auch 836 A.D. als Geburtsjahr. das Werk von Archimedes – er nannte es „Buch des Archimedes, das davon handelt, den Kreis in 7 gleiche Teile zu teilen“ – ins Arabische übersetzt und somit den Beweis für die Richtigkeit der Konstruktion von Archimedes für die Nachwelt erhalten (siehe Abschnitt Beweis zu Punkt D).
Das Buch des Archimedes zählt zu den ältesten arabischen Übersetzungen. Thabit ibn Qurra hatte viel Mühe aufgebracht, um die von „verständnislosen Abschreibern entstellten Sätze und Figuren“ aus dem Griechischen ins Arabische zu übertragen. Es vergingen nochmals rund 900 Jahre bis Muṣṭafā Ṣidqī Ibn Ṣāliḥ im Juli 1740 „die Korrektur und Redaktion edler Texte“ abschloss.Jan P. Hogendijk: Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon. Kap. 8.3: Manuscript sources, Constructions of the Heptagon, Translation, S. 290 In: JSTOR Journal. Article in Archive for History of Exact Sciences, Band.30, Nr. 3/4 (1984), S. 288–290, Springer Carl Schoy (1877–1925) übertrug das Buch des Archimedes vom Arabischen ins Deutsche. Er erhielt wertvolle Unterstützung von dem in Kairo lebenden Max Meyerhof, der ihm alle arabischen Schriften über das Siebeneck überließ. Sein Werk Die trigonometrischen Lehren des persischen Astronomen [... gekürzt Thabit ibn Qurra] wurde nach seinem Tod von Julius Ruska und Heinrich Wieleitner 1927 veröffentlicht.
Konstruktion von Archimedes hochkant=1.8|mini|Konstruktion von Archimedes, erst wenn die Dreiecke und den gleichen Flächeninhalt haben (grün), entspricht die Strecke der Seitenlänge eines regelmäßigen Siebenecks, Animation mit 10 s Pause am Ende
In einem Quadrat Die Bezeichnungen der Punkte sind dem Buch von H.-W. Alten 4000 Jahre Algebra, Geschichte–Kulturen–Menschen, S. 81 entnommen. mit beliebiger Seitenlänge wird eine Halbgerade ab dem Punkt gezogen, bis sie die Verlängerung der Quadratseite im Punkt schneidet. Für die dabei entstehenden Dreiecke gilt:
Die geometrische Konstruktion von Archimedes beruht hauptsächlich auf dem Bestimmen der Streckenlänge . Hierzu soll er, so wird überliefert, die Konstruktionsmethode Einschiebung (Neusis) genutzt haben. Sie entspricht in der Algebra der Lösung einer kubischen Gleichung. Die Art und Weise, wie er diese Einschiebung durchführte, um den maßgebenden Punkt theoretisch exakt zu erhalten, ist nicht überliefert. Alhazen, ein arabischer Mathematiker (965–1040), war der Meinung, dass eine Lösung nur mithilfe der Kegelschnitte möglich sei.
mini|hochkant=1.8|Bild 1: Schritt 1, Prinzipskizze mini|hochkant=1.8|Bild 2: Schritt 2, Prinzipskizze mit Erweiterung
Im Jahr 1992 schreibt Christoph J. Scriba den Aufsatz „Einige Bemerkungen zu antiken Konstruktionen“ in Amphora, einer Festschrift für Hans Wußing zu seinem 65. Geburtstag. Darin zitiert er Johannes Tropfke aus dessen Werk Die Siebeneckabhandlung des Archimedes:
Eine Einschiebung mithilfe eines markierten Lineals, dessen Kante um den Punkt so gedreht ist, dass eine Strecke die Bedingung liefert, die Dreiecke und haben gleich große Flächeninhalte, ist offensichtlich nicht zielführend. Dies ist so, weil für jede Einschiebung die Voraussetzung besteht, dass der für die Markierung des Lineals erforderliche Abstand der beiden Marken konstruierbar ist. Die z. B. hierfür relevanten Streckenlängen oder erfüllen diese Bedingung nicht. Eine Möglichkeit der Einschiebung auf eine andere Art und Weise wird in Endpunkt M mithilfe eines markierten Lineals beschrieben.
Die folgenden Ausführungen, dargestellt in moderner Sprache, lehnen sich an die Beschreibung von Thabit ibn Qurra an, die im Wesentlichen aus zwei Schritten besteht. Als ersten Schritt (Bild 1) wird zur Vorüberlegung eine Prinzipskizze der Strecke mit ihren Teilungspunkten und angefertigt. Darin sei die Seitenlänge des Quadrates, und zugleich soll gelten:
Im zweiten Schritt (Bild 2) erweitert man die soeben erstellte Prinzipskizze. Hierzu wird zuerst über die Strecke mithilfe das gleichschenklige Dreieck errichtet. Verbindet man nun den Punkt mit ergibt sich das ebenfalls gleichschenklige Dreieck Nach Thabit ibn Qurra haben – bei exakt bestimmtem Teilungspunkt und Endpunkt – die Winkel an den Scheiteln und jeweils die Winkelweite und an den Scheiteln (Supplementwinkel, Nebenwinkel) und jeweils die Winkelweite Somit ist der Winkel der Zentriwinkel des Siebenecks.
Teilungspunkt D mithilfe eines Funktionsgraphen hochkant=1.8|mini|Bild 3: Bestimmung des Teilungspunktes mithilfe des Graphen der Funktion , in der Darstellung ist . Wenn , verläuft der Graph durch die Punkte .
Es bedarf dazu mindestens eines zusätzlichen Hilfsmittels, wie z. B. einer Parabel oder einer Parabel und Hyperbel oder des im Folgenden ermittelten Funktionsgraphen. Die Dreiecke und sind nicht Teil der Lösung, sie dienen lediglich der Veranschaulichung.
Für eine exakte Konstruktion (Bild 3) zeichnet man zuerst das Quadrat mit der beliebigen Seitenlänge und verlängert anschließend über hinaus. Um die Dreiecke und mit gleich großen Flächeninhalten zu erhalten, reicht es, den Teilungspunkt zu bestimmen. Der fehlende Punkt ist anschließend mithilfe eines Lots von mit Fußpunkt und einer Halbgeraden ab durch den erzeugten Kreuzungspunkt zu finden.
Es sei und sodass gilt:
Daraus ergibt sich für
Gleichung eingesetzt in ergibt:
Gleichung multipliziert mit und anschließend dividiert durch ergibt:
daraus folgt die kubische Gleichung
Die Funktion hat im Intervall zwei Nullstellen . Es gilt Die dritte Nullstelle liegt außerhalb des Intervalls .
Wenn als Koordinatenursprung festgelegt wird, sind die kartesischen Koordinaten des relevanten Punktes des Funktionsgraphen
Beweis zu Punkt D hochkant=1.8|mini|Bild 4: Beweis durch Kreisteilung, darin ist und dieSeitenlänge , ist die kleinste Diagonale
Als Beweis für die Richtigkeit der Konstruktion von Archimedes soll die folgende Teilung des Kreises in sieben gleich lange Bögen dienen.
Auf eine Gerade werden die Strecken mit den gegebenen Längen , und abgetragen, anschließend das gleichschenklige Dreieck mit eingezeichnet sowie die Punkte mit und mit verbunden. Nach dem Bestimmen des Umkreismittelpunktes mithilfe der beiden Senkrechten auf durch sowie auf durch wird der Umkreis eingezeichnet. Es folgen die Verlängerungen der Strecken und , bis sie in bzw. den Umkreis schneiden. Nun wird mit verbunden, dabei ergibt sich der Schnittpunkt der sogleich mit verbunden wird. Der Mittelpunkt des kleinen Kreises ergibt sich aus der Halbierung der Strecke in und der anschließenden Senkrechten zu in .
Aus der Darstellung (Bild 4) ist zu entnehmen ( Kreisbogen): im daraus folgt:
folglich ist: und wegen Ähnlichkeit (W:W:W-Satz) der Dreiecke denn d. h.
Somit sind und drei gleich lange Bögen. Darüber hinaus ist: und
dies bedeutet, die vier Punkte und liegen auf demselben Kreis mit Mittelpunkt Wegen Kongruenz (drei Seiten gleich lang) der Dreiecke folgt
und aus der Ähnlichkeit (W:W:W-Satz) von folgt
Des Weiteren gilt: und folglich ist wegen ist auch
also ist jeder der Bögen und Somit ist der Kreis in sieben gleich lange Teile geteilt, was zu beweisen war.
Endpunkt M mithilfe eines Funktionsgraphen mini|hochkant=1.8|Bild 5: Bestimmen der Strecke mithilfe des Graphen der Funktion als Animation
Das nebenstehende Bild zeigt eine alternative Lösung. Darin wird der Punkt anstatt des Punktes bestimmt. Die Dreiecke und sowie die Punkte und sind nicht Teil der Lösung, sie dienen lediglich der Veranschaulichung.
Für eine exakte Konstruktion zeichnet man zuerst das Quadrat mit der beliebigen Seitenlänge und verlängert über hinaus. Um die Dreiecke und mit gleich großen Flächeninhalten zu erhalten, reicht es, den Punkt zu bestimmen. Abschließend wird die Verbindungslinie von Punkt bis Punkt eingetragen.
Vorüberlegung Gesucht ist eine Funktion , deren Graph die x-Achse eines kartesischen Koordinatensystems in schneidet (Nullstelle) und somit die Strecke erzeugt.
Ansatz Sei dann ist die Länge der Strecke gleich dem Längenverhältnis der kleinsten Diagonale zur Seitenlänge des regelmäßigen Siebenecks (siehe hierzu Bild 4: Beweis durch Kreisteilung).OEIS COMMENTS, rho(7):= 2*cos(Pi/7) is the length ratio (smallest diagonal)/side in the regular 7-gon (heptagon).