mini|hochkant=2.1|Lösungen der Gleichung x3 + y3 + z3 = n mit ganzzahligen x, y und z (Abszisse) für n = 0...100 (Ordinate), dargestellt als einfach-logarithmischer Graph. Grün kodiert sind Werte für n, für die es nachweislich keine Lösungen gibt. Rot bzw. Blau kodiert sind die Bereiche zwischen x und y bzw. y und z mit x ≤ y ≤ z.
Die Summe von drei Kubikzahlen bezeichnet ein ungelöstes Problem der Zahlentheorie, welches wie folgt lautet:
Zum Beispiel lässt sich die Zahl u. a. als die Summe der drei Kubikzahlen , und darstellen↓. Für die Zahl existiert dagegen nachweislich keine solche Zerlegung↓. Ist eine beliebige ganze Zahl, so geht es um die Lösbarkeit der diophantischen Gleichung .
Die Lösungen dieser diophantischen Gleichung für gegebene ist ein seit 200 Jahren (1825) ungelöstes Problem der Zahlentheorie.Das Problem wurde seit genau 1825 genauer betrachtet, was Ende der 1980er Jahre „mehr als 160 Jahre“ waren. Seitdem wird diese Zahl von Dokument zu Dokument als durch Quellen belegte Konstante abgeschrieben. In gedruckten Publikationen wird daher normalerweise vermieden, relative Zeitangaben zu verwenden, da auf Papier gedruckter Text nicht weiß, in welchem Jahr es gelesen wird. Seit mehr als 70 Jahren sind durch Einsatz von Computern und Brute-Force-Suche viele einzelne Lösungen (bis in den Bereich von 1020) gefunden worden, eine grundlegend analytische Lösung steht aber weiterhin aus.
Eigenschaften
Wichtige Vorbemerkung
Da Permutationen von Kubikzahlen ebenfalls Lösungen sind, werden diese nicht explizit angegeben. Lösungen werden immer in der Sortierung
angegeben, im Falle von Betragsgleichheit werden die Werte nach ihrem Wert sortiert. Weiterhin werden Lösungen für negative nicht angeben, da aus die Lösung für negative folgt.
Es geht um die Lösung der Gleichung mit . Für ist bekannt und beweisbar, dass es keine Lösungen geben kann, für wird zwar vermutet, dass es immer (sogar unendlich viele) Lösungen gibt. Hierbei handelt es sich allerdings um eine unbewiesene Vermutung. Lösungen werden heutzutage im Wesentlichen mittels Computer per Brute Force bestimmt. Die Anzahl der bekannten Lösungen variiert hierbei erheblich, für z. B. und kann man sehr einfach unendlich viele Lösungen konstruieren, für sind drei Lösungen↓ bekannt und für ↓ wird vermutet, dass es (unendlich viele) Lösungen gibt, es ist aber aktuell keine Lösung bekannt.
Lösungen werden betreffs folgender Kriterien klassifiziert: trivial, falls einer der Koeffizienten . nicht-primitiv, falls durch Erweiterung mit einer Kubikzahl aus einer kleineren Lösung entstanden Weiterhin gibt es für Kubikzahlen unendlich viele Lösungen mittels für beliebige . Für sind das alle Lösungen, für gibt es weitere Lösungen.
Die folgende Tabelle enthält die Anzahl der Lösungen bis , die sich nicht mittels der dritten Methode konstruieren lassen bzw. die ungefähre Größe der kleinsten bekannten Lösung. n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 0 keine 385 225 2 keine Lösungen 6 7 543 3 5 7 2 keine Lösungen 6 180 9 18 13 8 15 8 2 5 6 555 12 14≈109≈1016 15 14 36 11 5 3 1≈1017 17 5 8 7 8 8 3≈101111 54 162 18 15 15 4 3 17 13 719 8 3 7 10 22 72 5 12≈1014≈109 2 5 9 8 5 23 2 1 14 7 90 32 16 19 3 3 19 7 29 4 6 1 1 8 6 108 6 17≈1010 5??? 6 8 4 24 9 11 2 4 528
Lösungen für haben eine der beiden Formen oder , d. h. die beiden kleineren Terme haben das gleiche Vorzeichen und der größere Term das entgegengesetzte Vorzeichen. Die anderen sechs Fälle treten nur für sehr kleine auf, wie z. B. .
Bekannte Voraussetzungen, für die es Lösungen oder keine Lösungen gibt
Sei ganzzahlig lösbar. Dann ist eine notwendige Bedingung für die folgende:
Es ist nicht bekannt, ob diese Eigenschaft für auch hinreichend ist (dann wäre nämlich das bis dato ungelöste Problem der Zahlentheorie, dem dieser Artikel gewidmet ist, gelöst). Es wurde jedoch von Heath-Brown vermutet, dass die diophantische Gleichung für alle unendlich viele ganzzahlige Lösungen hat.
Es gibt einige spezielle Beziehungen zwischen und , wie zum Beispiel die folgenden: Sei ganzzahlig lösbar. Bei gegebenem gelten die folgenden Bedingungen für : Wenn ist, muss gelten: oder . Wenn ist, muss gelten: oder . Wenn ist, muss gelten: oder . Wenn ist, muss gelten: oder . Wenn ist, muss gelten: . Wenn ist, muss gelten: . Wenn ist, muss gelten: . Wenn ist, muss gelten: .
Chronologie der Entdeckungen 1825 S. Ryley, ein Schullehrer aus Leeds, beschäftigt sich mit dem Thema und findet eine generische Lösung für rationale Zahlen. 1908 A. S. Verebrusov findet parametrische, ganzzahlige Lösungen für . 1936 Kurt Mahler findet parametrische, ganzzahlige Lösungen für . 1942 und 1953 Louis Joel Mordell beschäftigt sich mit dem Thema. Die Ergebnisse findet man in seinem Buch „Diophantine Equations (1969)“Für Studenten des Freistaates Thüringen Online verfügbar 1954 Miller und Woollet fanden 69 der 78 möglichen Lösungen für per Brute-Force-Suche aller Kombinationen .Weitere Quelle, alle gefundenen als Pixelgrafiken gescannten Quellen enthalten 3164 als Grenze. (PDF; 0,5 MB) Die Berechnungen wurden auf einer Electronic Delay Storage Automatic Calculator in Cambridge durchgeführt.L. J. Mordell, On the integer solutions of the equation x² + y² + z² + 2xyz = n, J. London Math. Soc. 28 (1953) Unbekannt blieben die Lösungen der neun Zahlen und . Die letzten 5 der 69 gefundenen Zerlegungen lauten: {| style="text-align:right"
1963 Gardiner, Lazarus und Stein suchten weitere Lösungen für mit und . Für fanden sie folgende weitere Lösung:
Für fanden sie 708 der 778 Lösungen. Die letzten 5 der 708 gefundenen Zerlegungen lauten: {| style="text-align:right"
1992 Heath-Brown, Lioen und te Riele fanden folgende weitere Lösung:
1994 Conn und Vaseršteĭn fanden folgende weitere Lösung:
1999 Durch Finden weiterer drei Lösungen waren für bereits für 75 verschiedene Lösungen bekannt. Die neuen Lösungen waren: {| style="text-align:right"
Damit fehlten nur noch die Lösungen für und . Für fanden sie 751 der 778 Lösungen. 2007fehlten nur noch für folgende zwischen und obige Lösungen: und 26. April 2016wurde das Problem für von Sander Huisman gelöst:
28. April 2019wurde das Problem für vom Mathematiker Andrew Booker mittels massivem Computer-Einsatz gelöst:
6. September 2019wurde das Problem für die letzte verbliebene Zahl , nämlich für ebenfalls von Andrew Booker und dem Mathematiker Andrew Sutherland gelöst:
Da das letzte ungelöste Problem bis für diese Art von Gleichung war und das Ergebnis „42“ schon vorher feststand, wurde spaßeshalber ein Zusammenhang mit der Antwort 42 aus der mehrfach verfilmten Roman- und Hörspielreihe Per Anhalter durch die Galaxis des englischen Autors Douglas Adams hergestellt.Mathematiker knacken Rätsel um die Zahl 42. Welt Online. Die Suche fand dabei auf bis zu einer halben Million Rechnern von Freiwilligen statt.Andrew R. Booker, Andrew V. Sutherland: On a question of Mordell 24. Oktober 2019wurden, ebenfalls von Andrew Booker und Andrew Sutherland, drei weitere Fälle gelöst: {| style="text-align:right"
Eine Darstellung als Summe von drei Kubikzahlen war somit nur noch für die folgenden acht Werte für unbekannt: und 5. Januar 2021wurde, ebenfalls von Andrew Booker und Andrew Sutherland, ein weiterer Fall gelöst:
Eine Darstellung als Summe von drei Kubikzahlen ist somit nur noch für die folgenden sieben Werte für unbekannt (Stand: 5. Januar 2021): und
Momentan ist also die Gleichung diejenige mit dem kleinsten natürlichen , für die noch keine ganzzahlige Lösung bekannt ist.
Beispiele für Lösungen der Gleichung Lösungen, in denen (mindestens) eine der Zahlen ist, nennen man triviale Lösungen. Sind alle ungleich 0, nennt man sie nicht-triviale Lösungen. Lösungen, in denen teilerfremd sind, nennt man primitive Lösungen, andernfalls nicht-primitive Lösungen.
Lösungen für n = 0 Die einfachste triviale Darstellung für als Summe dreier Kubikzahlen lautet: . Weitere triviale Lösungen lauten: mit . Nichttriviale Lösungen existieren nicht. Beweis: Angenommen, es existiert eine nichttriviale Darstellung der Form mit . Genau eine oder zwei der Variablen müssen negativ sein, denn sie können nicht alle drei gleichzeitig positiv oder negativ sein. Ohne Bedingung der Allgemeinheit kann angenommen werden, dass (Im Fall von zwei negativen Variablen, betrachtet man die Lösung ). Bringt man auf die rechte Seite, erhält man mit eine ganzzahlige Lösung für die Gleichung mit . Dies steht aber im Widerspruch zum auf Kubikzahlen angewendeten Großen Fermatscher Satz, der besagt, dass die Gleichung für positive ganze Zahlen keine Lösungen besitzt. Somit muss die Annahme fallengelassen werden, was bedeutet, dass es keine nichttriviale Darstellung der Form geben kann. ∎
Lösungen für n = 1 Die triviale Darstellung für als Summe dreier Kubikzahlen lautet: . Neben dieser existieren aber auch weitere Lösungen (350 Stück bis 50·106), wie z. B.: (kleinste Lösung, die nicht trivial und nicht einfach konstruierbar ist)
Neben diesen Einzellösungen existieren aber auch ganze Familien von Lösungen. Die einfachste lautet: mit . Zwei kompliziertere Lösungsfamilien wurden im Jahr 1936 vom Mathematiker Kurt Mahler entdeckt: mit
wie auch folgende: mit . Für lieferte Lehmer unendlich viele polynomische Lösungsfamilien. Neben ,
lassen sich für jedes einzelne unendlich viele weitere Tripel mit rekursiv mittels , und
konstruieren. Für und erhält man die einfachen Lösungen von Kurt Mahler, für die kompliziertere.
Lösungen für n = 2 Die triviale Darstellung für als Summe dreier Kubikzahlen lautet: , die ersten nicht-triviale . Eine im Jahr 1908 entdeckte nichttriviale Darstellungs-Familie lautet mit . Weitere bekannte Lösungen, die nicht der obigen Familie angehören, sind: {| style="text-align:right"
Lösungen für n = 3 Bis September 2019 waren die einzigen bekannten Lösungen für als Summe dreier Kubikzahlen folgende: und
Überraschenderweise wurde im September 2019 eine weitere Darstellung entdeckt:
Damit konnte schließlich eine 1953 von L. Mordell gestellte Frage nach 66 Jahren (47 Jahre nach seinem Tod) beantwortet werden: Are there any solutions for n = 3 other than permutations of (1, 1, 1) and (4, 4, −5) ? Allerdings steht nach Kenntnis dieser drei Lösungen die Frage Gibt es mehr als diese drei Lösungen ? im Raum, denn es ist weiterhin unbekannt, ob es nun drei, vier, zweiundvierzig, endlich viele oder unendlich viele Lösungen für gibt oder ob die Frage im Sinne von Gödel nicht entscheidbar ist.
Lösungen für n = 4 und 5 Für und gibt es keine Lösungen. Da eine Kubikzahl modulo stets in der Menge liegt, kann die Summe dreier Kubikzahlen nur Werte zwischen und annehmen. Das bedeutet, dass eine Zahl der Form für nicht als Summe dreier Kubikzahlen dargestellt werden kann. Dies betrifft insbesondere die Zahlen und .
Man sehe sich hierzu den Beweis↓ an, dass für prinzipiell keine Lösungen existieren können.
Lösungen für n = 6 Es gibt mehrere Lösungen; die für lauten: {| style="text-align:right"
Lösungen für n = 7 Es gibt mehrere Lösungen; die für lauten: {| style="text-align:right"
Lösungen für beliebige Kubikzahlen n = k3
Für Kubikzahlen lassen sich unendlich viele sehr einfache, aber nicht triviale Lösungen konstruieren:
mit beliebigen
Lösungen für n = 10 Es gibt mehrere Lösungen; die für lauten: {| style="text-align:right"
Diese sind auf heutigen Computern schnell gefunden. Erst mit größerem Abstand findet man: {| style="text-align:right"
Lösungen für n = 13 und 14 Für und gibt es keine Lösungen. Man sehe sich hierzu den Beweis↓ an, dass für prinzipiell keine Lösungen existieren können.
Lösungen für n = 114