In der Mathematik beschreibt der Fluss eines Vektorfeldes die Bewegung entlang der Lösungskurven der durch das Vektorfeld gegebenen gewöhnlichen Differentialgleichung.
Definition Sei ein -Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge (oder allgemeiner auf einer offenen Teilmenge einer Mannigfaltigkeit). Nach dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz für gewöhnliche Differentialgleichungen gibt es für jedes eine eindeutige maximale Lösung
der Differentialgleichung . Hierbei ist das (eventuell unendliche) maximale Intervall, auf dem eine Lösung definiert ist. Wir bezeichnen diese vom Startwert abhängende Kurve mit .
Sei . Dann heißt die durch
gegebene Abbildung der Fluss des Vektorfeldes .
Eigenschaften mini|Vektorfeld F(x,y)=(-y,x) Der Fluss eines Vektorfeldes ist ein Fluss, d. h. eine einparametrige Transformationsgruppe. Es gilt also
und
für alle .
Beispiel
Der Fluss des auf dem definierten Vektorfeldes
ist gegeben durch .
Vollständige Vektorfelder Das Vektorfeld heißt ein vollständiges Vektorfeld, wenn sein Fluss für alle Zeiten definiert, also
für alle , oder äquivalent ist.
Vektorfelder mit kompaktem Träger sind stets vollständig. Dies gilt insbesondere für Vektorfelder auf kompakten Mannigfaltigkeiten.
Literatur John Lee: „Introduction to smooth manifolds“, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-21752-9 Vladimir Arnold: „Ordinary differential equations“, Universitext, Springer, ISBN 978-3-540-34563-3 Weblinks Flow of a Vectorfield (nLab)
Kategorie:Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen Kategorie:Theorie dynamischer Systeme Kategorie:Differentialtopologie