In der Statistik ist Überdispersion (von = „Zerstreuung“; gelegentlich auch Überstreuung oder Hyperdispersion genannt) ein Phänomen, das oft bei der Modellierung von Zähldaten auftritt. Man spricht von Überdispersion, wenn die empirische Varianz in den Daten größer ist als die vom Modell (z. B. Binomialmodell oder Poisson-Modell) angenommene erwartete „theoretische Varianz“. Die tatsächlich gemessene Variation in den Daten übersteigt also die theoretisch erwartete Variation. Das Diagnostizieren von Überdispersion ist Thematik der Regressionsdiagnostik. Bei Vorliegen eines Poisson-Modells stellt die Anwesenheit von Überdispersion die häufigste in der Praxis auftretende Verletzung der Modellannahmen dieses Modells dar. In der Theorie gilt für eine Poisson-verteilte Zielgröße, dass Varianz und Erwartungswert gleich sind. In der Praxis übersteigt die empirisch beobachtete Varianz jedoch häufig den Erwartungswert. Die Zähldaten streuen also in einem größeren Maße um den Erwartungswert, als durch das Poisson-Modell erwartet wird.

Das Gegenstück der Überdispersion, bei der in der Praxis weniger Variation vorliegt als durch das Modell zu erwarten ist, wird Unterdispersion genannt. Sie tritt allerdings weniger häufig auf als Überdispersion. Die Anwesenheit von Überdispersion hat eine Reihe von negativen Konsequenzen für die Validität eines statistischen Modells und den daraus abgeleiteten Schlussfolgerungen. Beispielsweise ist es möglich, dass das Vorhandensein von Überdispersion die Parameterschätzer verzerrt. Die Hauptgründe für Überdispersion sind unbeobachtete Heterogenität und eine positive Korrelationen zwischen den individuellen Beobachtungen der binären Antwortvariablen.

Überdispersion findet in einer Reihe von biologischen Wissenschaften, wie der Parasitologie und Ökologie und in der Epidemiologie Anwendung.

Ursachen Überdispersion tritt auf, wenn der Erwartungswert (selbst wenn alle erklärenden Variablen festgesetzt sind) eine gewisse inhärente Variabilität beibehält (sogenannte unbeobachtete Heterogenität). Des Weiteren tritt Überdispersion bei einer positiven Korrelation zwischen den individuellen Beobachtungen der binären Antwortvariablen (eine abhängige Variable, die nur zwei mögliche Werte annehmen kann) auf. Überdispersion tritt auch auf, wenn die Zähldaten in Clustern auftreten oder sich auf irgendeine Weise gemeinsam beeinflussen. Als Konsequenz sind die zugrundeliegenden Ereignisse positiv korreliert und eine Überdispersion der Zähldaten ist die Folge.Peter K. Dunn, Gordon K. Smyth: Generalized linear models with examples in R. Springer, New York 2018, S. 397. Auch können Ausreißer oder eine Fehl­spezifikation des Regressionsmodells zu Überdispersion führen.Lothar Kreienbrock, Iris Pigeot und Wolfgang Ahrens: Epidemiologische Methoden. 5. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2012, ISBN 978-0-19-975455-7, S. 3316.

Auswirkungen Für verallgemeinerte lineare Modelle hat das Auftreten von Überdispersion schwerwiegende Konsequenzen. Es bedeutet, dass die vom verallgemeinerten linearen Modell ausgegebenen Standardfehler unterschätzt werden und Tests bzgl. der erklärenden Variablen im Allgemeinen signifikanter erscheinen als die Daten nahelegen. Die Konsequenz sind übermäßig komplexe Modelle, was wiederum zu weiteren Problemen führt.Peter K. Dunn, Gordon K. Smyth: Generalized linear models with examples in R. Springer, New York 2018, S. 347.

Aufdecken von Überdispersion Überdispersion kann durch einen Anpassungstest festgestellt werden. Wenn die Residuen­devianz und die Pearson-Chi-Quadrat-Statistik deutlich größer sind als die residualen Freiheitsgrade, ist entweder das angepasste Modell nicht adäquat (eine relevante Variable wurde ausgelassen) oder es liegt Überdispersion vor. Bleibt auch nach dem Anpassen eines Modells mit der stärksten Erklärungskraft (gesättigtes Modell) und nach dem Eliminieren von Ausreißern ein Anpassungsmangel bestehen, wäre die Anwesenheit von Überdispersion eine alternative Erklärung.Peter K. Dunn, Gordon K. Smyth: Generalized linear models with examples in R. Springer, New York 2018, S. 397.

Theoretische Beispiele Poisson-Modell Ein Charakteristikum der Poisson-Verteilung ist, dass der Parameter der Verteilung zugleich der Erwartungswert und Varianz darstellt (siehe Poisson-Verteilung#Eigenschaften). Daher gilt für ein Poisson-Modell, bei dem eine Poisson-Verteilte Antwortvariable (Zielgröße) vorliegt:

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Aus ähnlichen Gründen wie bei Binomialdaten wird bei Anwendungen der Poisson-Regression häufig eine signifikant höhere empirische Varianz beobachtet.Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian Marx: Regression: models, methods and applications. Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2, S. 294. Die einfachste Möglichkeit einer größeren Variabilität als erwartet Rechnung zu tragen, ist die Einführung eines skalaren Faktors , der Überdispersionsparameter (auch Dispersionsfaktor) genannt wird.L. Fahrmeir, A. Hamerle: Multivariate statistische Verfahren. de Gruyter, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-11-008509-7, S. 294. In anderen wissenschaftlichen Disziplinen gibt es eine abweichende Notation; beispielsweise wird in der Parasitologie und Epidemiologie der Überdispersionsparameter mit Fälschlicherweise mit statt κ bezeichnet; in der Statistik werden zu schätzende Kenngrößen der Grundgesamtheit konventionell mit griechischen Buchstaben bezeichnet, während Kennwerte für die Stichprobe mit lateinische Buchstaben bezeichnet werden. statt mit bezeichnet. Mithilfe dieses unbekannten Parameters (den es daher zu schätzen gilt) modifiziert man die Varianzformel wie folgt:

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Durch die Wahl wird ein Modell erzeugt, bei dem die Varianz größer als der Erwartungswert ist. Man spricht bei dieser Wahl von von einem poissonverteilten verallgemeinerten linearen Modell mit Überdispersion, obwohl genau genommen keine Poisson-Verteilung mehr vorliegt.Torsten Becker u. a.: Stochastische Risikomodellierung und statistische Methoden. Springer Spektrum, 2016, S. 308. Für die Poisson-Verteilung in ihrer ursprünglichen Form, bei der die Varianz dem Erwartungswert entspricht, gilt . Man spricht in diesem Fall auch von Äquidispersion. Wählt man hingegen erhält man ein Modell mit Unterdispersion.Torsten Becker u. a.: Stochastische Risikomodellierung und statistische Methoden. Springer Spektrum, 2016, S. 308.

Schätzung des Überdispersionsparameters Mittlere Pearson-Chi-Quadrat-Statistik Falls der Überdispersionseffekt signifikant ist, ist es sinnvoll den Überdispersionsparameter zu schätzen. Es ist möglich, den Überdispersionsparameter mit der mittleren Pearson-Chi-Quadrat-Statistik zu schätzen.Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian Marx: Regression: models, methods and applications. Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2, S. 292. Die Pearson-Chi-Quadrat-Statistik, die sich aus der Quadratsumme der Pearson-Residuen ergibt, ist gegeben durch

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Hierbei sind die bekannte spezifizierte Gewichte, ist der geschätzte Erwartungswert für Beobachtung und ist die Varianzfunktion. Der Pearson-Schätzer für gegeben ist durch die mittlere Pearson-Chi-Quadrat-Statistik . Diese ist analog zum erwartungstreuen Schätzer der Varianz der Störgrößen definiert, außer dass hier die Pearson-Chi-Quadrat-Statistik die Residuenquadratsumme ersetzt.Peter K. Dunn, Gordon K. Smyth: Generalized linear models with examples in R. Springer, New York 2018, S. 255. Sowohl die Residuendevianz als auch die Pearson-Chi-Quadrat-Statistik vergleichen die Anpassung eines Modells relativ zu einem gesättigten Modell und sind asymptotisch -verteilt.Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian Marx: Regression: models, methods and applications. Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2, S. 308. Hierbei ist die Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden.

Mittlere Residuendevianz Eine weitere Maßzahl, die zur Schätzung des Überdispersionsparameters herangezogen werden kann, ist die mittlere Residuen­devianz. Die Residuendevianz ist eine Maßzahl für die Variabilität der Beobachtungen, nachdem das Modell angepasst wurde. Sie ist definiert durchPeter K. Dunn, Gordon K. Smyth: Generalized linear models with examples in R. Springer, New York 2018, S. 248.

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Sie folgt ebenso wie die Pearson-Chi-Quadrat-Statistik einer -Verteilung mit Freiheitsgraden. Für lineare Regressionsmodelle entspricht sie gerade der Residuenquadratsumme. Wie gewöhnlich ist der Maximum-Likelihood-Schätzer nicht erwartungstreue für . Daher verwendet man als erwartungstreuen Schätzer für den Überdispersionsparameter die mittlere Residuendevianz .Peter K. Dunn, Gordon K. Smyth: Generalized linear models with examples in R. Springer, New York 2018, S. 254.

Unterschiede in der Terminologie zwischen den Disziplinen Um zu betonen, dass in der Biologie zumeist klumpenartige Anordnungen (sogenannte Cluster) beschrieben werden, wird in der Biologie meist die Bezeichnung „Aggregation“ der Bezeichnung „Überdispersion“ vorgezogen und synonym zu ihr verwendet. Statt davon zu sprechen, dass die „Verteilung Überdispersion aufweist“, spricht man daher in biologischen Anwendungen (wie z. B. der Ökologie und der Parasitologie) oft von einer aggregativen Verteilung (auch geklumpte Verteilung oder gehäufte Verteilung genannt) der untersuchten Zähldaten.Robert Poulin: Evolutionary ecology of parasites. Princeton University Press, 2011, S. 90 ff. Beispielsweise spricht man davon, dass Parasiten eine „aggregative Verteilung“ aufweisen.Theodor Hiepe, Horst Aspöck (Hrsg.): Allgemeine Parasitologie: mit den Grundzügen der Immunbiologie, Diagnostik und Bekämpfung. Georg Thieme Verlag, 2006, S. 278.

Anwendungen in der Biostatistik Anwendung in der Parasitologie mini|hochkant|Eine Ursache dafür, dass eine sehr kleine Anzahl von Wirten eine große Anzahl von Parasiten trägt ist, dass bereits befallene Wirte erfolgreicher parasitiert werden können, da sie bereits geschwächt sind. Überdispersion charakterisiert in der Parasitologie ein Phänomen der Aggregation einer Mehrheit der Parasiten in einer Minderheit der Wirts­population. Somit hat die Mehrheit der Wirte keine oder nur wenige Parasiten. Eine sehr kleine Anzahl von Wirten trägt jedoch eine große Anzahl von Parasiten. Eine starke Überdispersion bzw. Aggregation lässt sich in den Daten für Nematoden­infektionen bei Teichfröschen feststellen. In diesem Fall wurden 70 % der Parasiten in nur 4 % der Wirte registriert, während 88 % der Wirte nicht infiziert waren und 8 % leichte Infektionen hatten.Morgana Camacho u. a.: Recovering parasites from mummies and coprolites: an epidemiological approach. In: Parasites & vectors. Band 11, 2018, Artikel 248.

Die Parasitenaggregation in Bezug auf Wirte ist ein charakteristisches Merkmal vielzelliger Parasitenpopulationen.Robert Poulin: Explaining variability in parasite aggregation levels among host samples. In: Parasitology. Band 140, Nr. 4, 2013, S. 541–546. Viele Parasiten, die durch direkten Kontakt übertragen werden (solche, die keinen Krankheitsüberträger verwenden), z. B. Ruderfußkrebse, Walläuse, Läuse, Milben, Hakensaugwürmer, viele Fadenwürmer, Pilze und viele Taxa von Protisten, sind nahezu ausnahmslos durch eine aggregative Verteilung charakterisiert, bei der die meisten einzelnen Wirte nur wenige oder keine Parasiten beherbergen.R. Poulin, H. S. Randhawa: Evolution of parasitism along convergent lines: from ecology to genomics. In: Parasitology. Band 142 Suppl 1, Februar 2015, S. S6–S15, , PMID 24229807, (Review).