Eine Woodall-Zahl ist eine natürliche Zahl der Form:
für eine natürliche Zahl . Die ersten Woodall-Zahlen sind:
1, 7, 23, 63, 159, 383, 895, 2047, 10239, 22527, 49151, 106495, 229375, 491519, 1048575, 2228223, 4718591, 9961471, 20971519, 44040191, … ()
Geschichte Woodall-Zahlen wurden zuerst von Allan J. C. Cunningham und H. J. Woodall im Jahr 1917 beschrieben. Dabei wurden beide von James Cullen inspiriert, der eine ähnliche Zahlenfolge definiert hatte: die Cullen-Zahlen.
Ähnliche Folgen Die Cullen-Zahlen sind definiert durch:
Infolge gilt:
.
Aufgrund dieser Ähnlichkeit werden Woodall-Zahlen auch als Cullen-Zahlen 2. Ordnung bezeichnet.
Woodall-Primzahlen Eine Woodall-Zahl, die gleichzeitig Primzahl ist, wird als Woodall-Primzahl bezeichnet. Die ersten Exponenten , für die Woodall-Zahlen solche Woodall-Primzahlen darstellen, sind:
= 2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, 462, 512, 751, 822, 5312, 7755, 9531, 12379, 15822, 18885, 22971, 23005, 98726, 143018, 151023, 667071, 1195203, 1268979, 1467763, 2013992, 2367906, 3752948, 17016602, … ()
= 7, 23, 383, 32212254719, 2833419889721787128217599, … ()
Vor allem die größeren Woodall-Primzahlen wurden durch das BOINC-Projekt PrimeGrid gefunden.
Die bisher größte Woodall-Primzahl wurde am 22. März 2018 berechnet und lautet:
Diese Zahl hat 5.122.515 Stellen und wurde vom Italiener Diego Bertolotti, einem Teilnehmer des Internet-Projekts PrimeGrid, entdeckt.
Es ist bekannt, dass es keine weiteren primen Woodall-Zahlen bis gibt. Es wird aber vermutet, dass es unendlich viele Woodall-Primzahlen gibt.
Eigenschaften von Woodall-Zahlen Fast alle Woodall-Zahlen sind zusammengesetzte Zahlen (bewiesen von Christopher Hooley im Jahr 1976). Die Primzahl teilt die Woodall-Zahl , wenn das Jacobi-Symbol ist. Die Primzahl teilt die Woodall-Zahl , wenn das Jacobi-Symbol ist. Es gilt: und sind beide durch drei teilbar. Jede weitere sechste Woodall-Zahl ist ebenfalls durch teilbar. Somit ist nur dann möglicherweise eine Woodall-Primzahl, wenn der Index nicht 4 oder 5 (modulo 6) ist. Die einzigen beiden bekannten Primzahlen, die Woodall-Primzahlen und gleichzeitig Mersenne-Primzahlen darstellen, sind (Stand: Mai 2019):
Verallgemeinerte Woodall-Zahlen Zahlen der Form mit bezeichnet man als verallgemeinerte Woodall-Zahlen.
Ist diese Zahl eine Primzahl, so nennt man sie verallgemeinerte Woodall-Primzahl.
Die Bedingung ist notwendig, denn ohne diese Bedingung wäre jede Primzahl eine verallgemeinerte Woodall-Primzahl, weil wäre.
Die kleinsten , für die prim ist, sind für aufsteigendes = 1, 2, …: 3, 2, 1, 1, 8, 1, 2, 1, 10, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 167, 2, 1, 12, 1, 2, 2, 29028, 1, 2, 3, 10, 2, 26850, 1, 8, 1, 42, 2, 6, 2, 24, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 140, 1, 2, 2, 22, 2, 8, 1, 2064, 2, 468, 6, 2, 1, 362, 1, 2, 2, 6, 3, 26, 1, 2, 3, 20, 1, 2, 1, 28, 2, 38, 5, 3024, 1, 2, 81, 858, 1, … ()
Es folgt eine Auflistung der ersten verallgemeinerten Woodall-Primzahlen für Basen von zwischen 1 und 30. Diese wurden zumindest bis 200000 untersucht. Wenn für die Bedingung nicht gilt, aber trotzdem die Zahl prim ist, wird sie in Klammern gesetzt: , sodass prim ist untersucht bis OEIS-Folge13, 4, 6, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48, 54, 60, 62, 68, 72, 74, 80, 84, 90, 98, 102, 104, 108, 110, 114, 128, 132, 138, 140, 150, 152, 158, 164, 168, 174, 180, 182, 192, 194, 198, 200, 212, 224, 228, 230, 234, 240, 242, 252, 258, 264, 270, 272, 278, 282, 284, 294, … (alle Primzahlen plus 1)alle Primzahlen22, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, 462, 512, 751, 822, 5312, 7755, 9531, 12379, 15822, 18885, 22971, 23005, 98726, 143018, 151023, 667071, 1195203, 1268979, 1467763, 2013992, 2367906, 3752948, 17016602,…145080613(1), 2, 6, 10, 18, 40, 46, 86, 118, 170, 1172, 1698, 1810, 2268, 4338, 18362, 72662, 88392, 94110, 161538, 168660, 292340, 401208, 560750, 1035092, …10580004(1, 2), 3, 5, 8, 14, 23, 63, 107, 132, 428, 530, 1137, 1973, 2000, 7064, 20747, 79574, 113570, 293912, …, 1993191, …100000058, 14, 42, 384, 564, 4256, 6368, 21132, 27180, 96584, 349656, 545082, …10000006(1, 2, 3), 19, 20, 24, 34, 77, 107, 114, 122, 165, 530, 1999, 4359, 11842, 12059, 13802, 22855, 41679, 58185, 145359, 249987, …8760007(2), 18, 68, 84, 3812, 14838, 51582, …3500008(1, 2), 7, 12, 25, 44, 219, 252, 507, 1155, 2259, 2972, 4584, 12422, 13905, 75606, …513000910, 58, 264, 1568, 4198, 24500, …97500010(2, 3, 8), 11, 15, 39, 60, 72, 77, 117, 183, 252, 396, 1745, 2843, 4665, 5364, …50000011(2, 8), 252, 1184, 1308, …50000012(1, 6), 43, 175, 821, 910, 1157, 13748, 27032, 71761, 229918, …50000013(2, 6), 563528, …57000814(1, 3, 7), 98, 104, 128, 180, 834, 1633, 8000, 28538, 46605, 131941, 147684, 433734, …50000015(2, 10), 14, 2312, 16718, 26906, 27512, 41260, 45432, 162454, 217606, …50000016167, 189, 639, …50000017(2), 18, 20, 38, 68, 3122, 3488, 39500, …40000018(1, 2, 6, 8, 10), 28, 30, 39, 45, 112, 348, 380, 458, 585, 17559, 38751, 43346, 46984, 92711, …40000019(12), 410, 33890, 91850, 146478, 189620, 280524, …40000020(1, 18), 44, 60, 80, 123, 429, 1166, 2065, 8774, 35340, 42968, 50312, 210129, …25000021(2, 18), 200, 282, 294, 1174, 2492, 4348, …20000022(2, 5), 140, 158, 263, 795, 992, 341351, …2000002329028, …20000024(1, 2, 5, 12), 124, 1483, 22075, 29673, 64593, …20000025(2), 68, 104, 450, …50000026(3, 8), 79, 132, 243, 373, 720, 1818, 11904, 134778, …20000027(10, 18, 20), 2420, 6638, 11368, 14040, 103444, …45000028(2, 5, 6, 12, 20), 47, 71, 624, 1149, 2399, 8048, 30650, 39161, …2000002926850, 237438, 272970, …20000030(1), 63, 331, 366, 1461, 3493, 4002, 5940, 13572, 34992, 182461, 201038, …200000 Die bisher größte bekannte verallgemeinerte Woodall-Primzahl ist . Sie hat 5.045.259 Stellen und wurde am 3. November 2024 von Ryan Propper und Serge Batalov entdeckt.
Siehe auch Cullen-Zahl
Literatur J. Cullen: Question 15897, Educ. Times, (December 1905) 534.
Weblinks Cullen prime Woodall prime
Einzelnachweise
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