In der Mathematik ist die Whitehead-Mannigfaltigkeit ein Beispiel einer kontrahierbaren 3-Mannigfaltigkeit, die nicht homöomorph zum euklidischen Raum ist.
J. H. C. Whitehead hatte 1934 einen Beweis der Poincaré-Vermutung veröffentlichtJ. H. C. Whitehead: Certain theorems about three-dimensional manifolds (I), Quarterly Journal of Mathematics 5, 308–320 (1934), in dem er zunächst bewiesen haben wollte, dass jede kontrahierbare 3-Mannigfaltigkeit homöomorph zum ist, woraus er die Poincaré-Vermutung (jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur ) erhielt. Im Folgejahr entdeckte er einen Fehler in seinem Beweis und das Beispiel der Whitehead-MannigfaltigkeitJ. H. C. Whitehead: A certain open manifold whose group is unity, Quarterly Journal of Mathematics 6, 268–279 (1935). Diese ist kontrahierbar, aber nicht einfach zusammenhängend im Unendlichen, womit sie nicht homöomorph zum sein kann und seine erste Behauptung widerlegt.
Konstruktion
Konstruiere eine Folge von in der 3-Sphäre eingebetteten Volltori wie folgt.
1. Schritt: ist ein unverknoteter Volltorus in .
2. Schritt: ist in so eingebettet, dass der Kern von mit dem Meridian von eine Whitehead-Verschlingung bildet.
...
i. Schritt: ist in so eingebettet, dass der Kern von mit dem Meridian von eine Whitehead-Verschlingung bildet.
...
Die Whitehead-Mannigfaltigkeit ist das Komplement der Schnittmenge in , oder äquivalent die Vereinigungsmenge mit .
Topologische Eigenschaften
Die Whitehead-Mannigfaltigkeit ist kontrahierbar und ,
Sie ist nicht einfach zusammenhängend im Unendlichen. Ihre Ein-Punkt-Kompaktifizierung ist der Quotient von , wenn alle Punkte aus miteinander identifiziert werden.
Sie ist die Vereinigung zweier Kopien des , deren Durchschnitt ebenfalls homöomorph zum ist.David Gabai: The Whitehead manifold is a union of two Euclidean spaces, Journal of Topology 4, 529–534 (2011)
Differentialgeometrie
Die Whitehead-Mannigfaltigkeit trägt keine vollständige Riemannsche Metrik positiver Skalarkrümmung.J. Wang: Contractible 3-manifold and Positive scalar curvature, ArXiv
Einzelnachweise
Kategorie:3-Mannigfaltigkeit