Der Value at Risk (kurz: VaR) ist ein Risikomaß aus dem Finanzwesen. Es handelt sich dabei um das -Quantil der Verlustfunktion. Hierbei wird als Konfidenzniveau bezeichnet. Der Value at Risk ist somit der kleinstmögliche Verlustbetrag, welcher mit Wahrscheinlichkeit größer oder gleich nicht überschritten wird. Im Falle einer stetigen und streng monoton steigenden Verlustfunktion entspricht der VaR gerade dem Verlustbetrag, welcher mit Wahrscheinlichkeit überschritten wird.
Der Value at Risk ist das am weitesten verbreitete Risikomaß im Finanzsektor. Mittlerweile wird er auch außerhalb des Finanzsektors zur Risikomessung eingesetzt.
Angenommen, die Verlustfunktion ist stetig. Dann bedeutet ein Value at Risk von 10 Mio. EUR bei einer Haltedauer von einem Jahr und einem Konfidenzniveau von 99 %, dass der Verlust der betrachteten Risikoposition nach einem Jahr mit einer Wahrscheinlichkeit von lediglich 1 % den Betrag von 10 Mio. EUR überschreiten wird.
Definition Der VaR zum Konfidenzniveau ist das -Quantil der Verlustfunktion, welche die negative Wertveränderung einer Risikoposition über eine fixierte Zeitspanne, die in diesem Zusammenhang Haltedauer heißt, misst. Der VaR ist also ein Maß für das Verlustrisiko.
Die Zufallsvariable beschreibe die Verlustfunktion des Portfolios über den betrachteten Zeitraum. Ein Verlust ist in der Verlustfunktion positiv, ein Gewinn negativ. Die zugehörige Verteilungsfunktion sei mit bezeichnet. Der VaR zu einem gegebenen Konfidenzniveau wird dann wie folgt anhand der verallgemeinerten inversen Verteilungsfunktion (Quantilfunktion) definiert: .
Man kann den VaR auch über die Gewinnfunktion an Stelle der Verlustfunktion definieren: Die Zufallsvariable beschreibe die Gewinnfunktion des Portfolios über den betrachteten Zeitraum und die zugehörige Verteilungsfunktion sei mit bezeichnet. Der VaR zum Konfidenzniveau ist dann gegeben durch .
Falls die Verteilungsfunktion von (und damit auch die von ) stetig und streng monoton ist, gilt .
Eigenschaften Der VaR ist monoton im Konfidenzniveau, es gilt also
Ein höheres Konfidenzniveau führt also zu einem höheren oder – in Spezialfällen – gleichhohen VaR.
Als Risikomaß wird der VaR zum Vergleich verschiedener Verlustverteilungen eingesetzt. Der VaR besitzt als Risikomaß folgende Eigenschaften: Der VaR ist monoton bezüglich der stochastischen Dominanz, aus , folgt . Der VaR ist translationsinvariant, d. h.
Der VaR ist positiv homogen, d. h.
Der VaR ist im Allgemeinen nicht subadditiv. Der VaR ist aber subadditiv bei Beschränkung auf bestimmte Sicherheitsniveaus und auf bestimmte Klassen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, z. B Normalverteilungen. Wenn beispielsweise die Zufallsvariablen , und normalverteilt sind, dann gilt
Eine längere Haltedauer führt bei Marktrisikomodellen in der Regel zu einem höheren VaR als Folge der unterstellten Annahme der Random-Walk-Theorie oder einer vergleichbaren Annahme. Dies ist keine formale Eigenschaft des VaR, sondern des unterstellten stochastischen Modells, vgl. dazu die beiden letzten Beispiele im folgenden Abschnitt.
Beispiele Ist eine normalverteilte Verlustvariable mit dem Erwartungswert und der Standardabweichung , dann gilt
wobei das -Quantil der Standardnormalverteilung bezeichnet. Es gilt , wobei die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet. Für eine lognormalverteilte Verlustvariable gilt
Für eine auf dem Intervall stetig gleichverteilte Verlustvariable gilt
Für eine auf den Stellen diskret gleichverteilte Verlustvariable mit für gilt
Für die Verlustvariablen mit stochastisch unabhängigen und identisch normalverteilten Zufallsvariablen für gilt und daher . Der sich daraus ergebende Zusammenhang
wird als näherungsweise gültige Skalierungsformel auch in allgemeineren Zusammenhängen verwendet, um von einer Risikomaßzahl , die sich auf eine Periode bezieht, auf eine Risikomaßzahl zu schließen, die sich auf Perioden bezieht. Für die Verlustvariablen mit stochastisch unabhängigen und identisch normalverteilten Zufallsvariablen für gilt und daher . Für gilt . Für und und für und ist positiv und nimmt mit wachsendem . Für einen negativen -Wert, der einer positiven Gewinnerwartung entspricht, und einen positiven -Wert, der einem Konfidenzniveau entspricht, das größer als 1/2 ist, haben die beiden Summanden einen gegenläufige Wirkung auf .
Anwendungsbereiche
Mit dem VaR kann man unterschiedliche Risikoarten messen. So kann das Risiko eines Aktienportfolios, eines Zinsportfolios oder auch eines Kreditportfolios mit Hilfe des VaR beschrieben werden, wobei die betriebswirtschaftliche Interpretation der Kennzahl immer die gleiche ist. Ebenso könnte für gemischte Portfolios, die aus mehreren verschiedenen Assetklassen zusammengesetzt werden, der VaR gemessen werden, sofern die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung des gemischten Portfolios berechenbar ist. In der Praxis scheitert dies jedoch häufig daran, dass die Interdependenzen zwischen den verschiedenen Assetklassen nicht modelliert werden können (z. B. weil keine Korrelationskoeffizienten bekannt sind).
Praktischer Einsatz des Value at Risk Der VaR kann grundsätzlich für jedes stochastisch modellierbare Risiko angewendet werden. In der Praxis finden sich jedoch meist spezifische Anwendungen.
Marktpreisrisikomodelle Value-at-Risk-Modelle wurden ursprünglich zur Messung von Marktpreisrisiken entwickelt und haben für diesen Zweck als „Marktpreisrisikomodelle“ eine weite Verbreitung gefunden. Marktpreisrisikomodelle werden zur Risikomessung einzelner Handelsportfolios (siehe Handel) ebenso eingesetzt wie zur Risikomessung auf Gesamtbankebene, insbesondere zur Messung des Zinsänderungsrisikos. Allen Marktpreisrisikomodellen ist gemein, dass sie sich prinzipiell auf Risiken beziehen, die über entsprechende Instrumente mehr oder minder liquide an den Finanzmärkten handelbar sind.
Die verschiedenen Ansätze beruhen alle darauf, die für die Marktpreisrisiken eines Portfolios relevanten Treiber mit einem stochastischen Modell zu beschreiben und hieraus das Quantil der zukünftigen möglichen Wertänderungen des betrachteten Portfolios zu bestimmen.
Die Treiber des Marktpreisrisikos sind die den Portfoliowert bestimmenden Marktpreise, also Aktienkurse, Wechselkurse, Zinsen etc. (die sogenannten Risikofaktoren). Diese gehen mit den Schwankungsbreiten (Volatilität) zukünftiger Änderungen und den Zusammenhängen (Korrelation) zwischen den Änderungen verschiedener Risikofaktoren in die stochastische Modellierung ein. Die entsprechenden Werte für Schwankungsbreiten und Korrelationen werden normalerweise auf der Basis historischer Marktpreisänderungen geschätzt.
Mit Hilfe von Bewertungsmodellen und Informationen über die Portfoliozusammensetzung („Position“) müssen die Marktpreisänderungen dann in Portfoliowertänderungen umgerechnet werden. Die Bewertungsmodelle beschreiben den Zusammenhang zwischen Marktpreisen und den Werten der im Portfolio vorhandenen Finanzinstrumente; ein Beispiel ist die Barwertformel, die den Wert einer Anleihe in Abhängigkeit von den Marktzinsen angibt. Hierbei ist zu beachten, dass Marktpreisrisikomodellen normalerweise kein buchhalterischer, sondern ein marktpreisorientierter bzw. barwertiger Wertbegriff zugrunde liegt. Je nach Modellansatz erhält man aus diesem Schritt sofort das Quantil der Wertänderung, also den VaR, oder eine Verteilungsfunktion für Portfoliowertänderungen, aus der der VaR ermittelt werden kann.
Folgende Ansätze werden in der Praxis am häufigsten verwendet: Varianz-Covarianz-Ansatz: Dieser Begriff wird häufig synonym mit der korrekteren Bezeichnung „Delta-Normal-Ansatz“ verwendet und entspricht dem ursprünglichen VaR-Modell von J. P. Morgan. Die Stochastik der Risikofaktoren (Volatilitäten und Korrelationen) wird durch eine Kovarianzmatrix beschrieben, wobei man von multivariat normalverteilten Änderungen der Risikofaktoren ausgeht. Die Portfolioinformation fließt in Form von Sensitivitäten ein, d. h. den jeweils ersten Ableitungen des Portfoliowertes nach den Risikofaktoren. Da der Delta-Normal-Ansatz nur lineare Beziehungen zwischen Risikofaktoren und Marktpreisen abbilden kann, eignet er sich nicht für stark nichtlineare Finanzinstrumente wie Optionen. Sein Vorteil liegt darin, dass er einfach zu implementieren ist und eine einfache Analyse von Diversifikations- und Hedgeeffekten zwischen den Portfoliobestandteilen ermöglicht.Ebenfalls unter den Varianz-Covarianz-Ansatz fallen der analytische Delta-Gamma-Ansatz und die Cornish-Fisher-Approximation, die die Berücksichtigung nichtlinearer Finanzinstrumente erlauben. Ein gemeinsamer Nachteil aller Varianz-Covarianz-Ansätze ist die Normalverteilungsannahme, die die zu beobachtende leptokurtische Verteilung („fat tails“, siehe Wölbung (Statistik)) von Marktpreisänderungen vernachlässigt. Mit Monte-Carlo-Simulation wird ein spezifischer Ansatz in Bezug auf Marktpreisrisikomodelle bezeichnet. Hierbei werden – normalerweise auf Basis der Kovarianzmatrix historischer Marktpreisänderungen – mehrere 1000 zufällige Marktpreisänderungen generiert und in Portfoliowertänderungen umgerechnet. Aus der so erzeugten Verteilung von Portfoliowertänderungen kann der VaR ermittelt werden. Im Unterschied zum Delta-Normal-Ansatz und der Delta-Gamma-Methode können so auch Finanzinstrumente mit stark nichtlinearem Auszahlungsprofil in die VaR-Berechnung einbezogen werden. Nachteilig sind der hohe Rechenaufwand und die üblicherweise auch hier verwendete Normalverteilungsannahme. Die Historische Simulation unterscheidet sich von den vorgenannten Ansätzen dadurch, dass sie kein parametrisiertes Modell der Risikofaktoren verwendet (daher auch „nichtparametrischer Ansatz“ im Gegensatz zu „parametrischen Ansätzen“ wie den beiden vorgenannten Methoden). Vielmehr werden historische Marktpreisänderungen direkt zur Bewertung des aktuellen Portfolios herangezogen. Bei einem historischen Beobachtungszeitraum von beispielsweise 251 Tagen erhält man 250 Änderungen aller Risikofaktoren, die man über die Positionsinformation und die Bewertungsmodelle in 250 mögliche zukünftige Wertänderungen des aktuellen Portfolios umrechnet. Somit erhält man eine nichtparametrische Verteilungsfunktion der Portfoliowertänderungen, aus der man den VaR ablesen kann. Vorteile der historischen Simulation sind die einfache Implementierung, die einfache Aggregation von Risikozahlen über verschiedene Portfolios und EDV-Systeme hinweg und die Tatsache, dass keine Annahmen über die Verteilungsfunktion gemacht werden. Nachteilig sind eine gewisse Instabilität des Schätzers auf Grund der normalerweise geringen Anzahl der berechneten zukünftigen Portfoliowertänderungen und – zumindest theoretisch – die fehlende Subadditivität des berechneten VaRs.
Skalierung des Tages-VaR für abweichende Haltedauer
Bei Marktpreisrisiken wird häufig mit folgender Skalierung vom Eintages-VaR auf den Value-at-Risk zu einer längeren Haltedauer umgerechnet, bei der man vereinfachend voraussetzt, dass die eintägige Wertänderung normalverteilt mit Erwartungswert Null ist:
Dabei ist die Risikoposition (üblicherweise der aktuelle Marktwert der betrachteten Investition), die zugehörige Tagesvolatilität, die zugehörige Haltedauer, die Wahrscheinlichkeit, dass der errechnete Verlust überschritten wird das -Quantil der Standardnormalverteilung.
Beispiel: Eine Anlage von 100.000 Euro besitze normalverteilte Wertänderungen mit dem Erwartungswert Null, einer Tagesvolatilität von 5,8 % und eine Haltedauer von 5 Tagen. Für (Einseitige Betrachtung) ergibt sich:
Interpretation: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % wird ein Verlust von 21.333,03 Euro bei einer Haltedauer von 5 Tagen nicht überschritten.