Die Formel von Ascoli () ist eine mathematische Formel, die auf eine von dem italienischen Mathematiker Guido Ascoli im Jahre 1932 vorgelegte Arbeit zurückgeht und im Übergangsfeld zwischen den Gebieten Funktionalanalysis und Geometrie angesiedelt ist. Sie liefert eine Beschreibung des Abstandes zwischen einem Raumpunkt und einer gegebenen affinen Hyperebene in einem reellen normierten Raum.Peter Kosmol: Optimierung und Approximation. 2010, S. 399–400Peter Kosmol, Dieter Müller-Wichards: Optimization in Function Spaces. 2011, S. 108Ivan Singer: Best Approximation in Normed Linear Spaces by Elements of Linear Subspaces. 1970, S. 24
Darstellung der Formel Die Formel lässt sich folgendermaßen angeben:Kosmol, op. cit., S. 400 Gegeben seien ein normierter -Vektorraum und sein Dualraum der reellwertigen stetigen linearen Funktionale, wobei sowohl die Norm von als auch die Operatornorm von mit bezeichnet sein sollen. Weiter gegeben sei eine affine Hyperebene , wobei gelten soll mit einer reellen Zahl und einem Funktional . Dann berechnet sich für einen beliebigen Raumpunkt der Abstand zwischen ihm und der Hyperebene nach der Formel . ist die reelle Betragsfunktion.
Direkter Beweis Anschließend an die Darstellung in der Monographie von Ivan Singer lässt sich ein direkter Beweis in folgender Weise führen:
Zunächst ist für beliebiges
und damit – aufgrund der Eigenschaften der Operatornorm –
und daher .
Also gilt die Ungleichung .
Zum Beweis der umgekehrten Ungleichung stellt man in Rechnung, dass – wiederum aufgrund der Eigenschaften der Operatornorm – die Beziehung
besteht, und somit für jede reelle Zahl mit stets ein mit und gegeben ist.
Hierfür wird
gesetzt. Offenbar ist und dabei .
Durch Grenzübergang gewinnt man schließlich .
Das beweist die Formel.
Hintergrund Die Ascoli’sche Formel lässt sich ebenfalls aus dem sogenannten Dualitätssatz der linearen Approximationstheorie () gewinnen, der folgendes besagt:Kosmol, op. cit., S. 399 Seien , und gegeben wie oben. Seien weiter ein Untervektorraum gegeben sowie ein Raumpunkt . Dabei sei das orthogonale Komplement von in .
Dann gilt für den Abstand zwischen Raumpunkt und Untervektorraum die Formel .
Erläuterungen und Anmerkungen Die Fragestellung, die der Formel von Ascoli zu Grunde liegt, ist eng verwandt mit dem in der Analytischen Geometrie im Zusammenhang mit der Hesse’schen Normalform gestellten Problem, wie man den euklidischen Abstand eines Punktes von einer Geraden im beziehungsweise von einer Ebene im berechnet. Ist oben für einen Raumpunkt , so berechnet sich der in der Ascoli’schen Formel behandelte Abstand auch nach der Formel . Einem allgemeinen Lehrsatz des Mathematikers Werner Fenchel zufolge existiert das im obigen Dualitätssatz der linearen Approximationstheorie auftretende Maximum stets.Kosmol, op. cit., S. 385, S. 399
Beispielrechnung Zum reellen Vektorraum soll für den Raumpunkt und den Operator sowie die zugehörige Ebene nach wechselnder Norm innerhalb der Abstand berechnet werden. Dabei soll diese Norm nacheinander die euklidische Norm , die Summennorm und die Maximumsnorm sein.
Man erhält dazu die folgenden Abstände:Zu beachten ist hierbei, dass hier die im Nenner auftretende Norm von jeweils die Operatornorm von ist, die ja ebenfalls Bezeichnung hat.
(a) Für :
(b) Für :
(c) Für :
(d) Für :Bei gilt ja .
Literatur
Siehe auch Hessesche Normalform
Einzelnachweise
Hinweise
Kategorie:Funktionalanalysis Ascoli, Formel von Ascoli, Formel von