Stetige Konvergenz () ist ein mathematischer Begriff, der sowohl in der Funktionalanalysis und als auch in der numerischen Mathematik und nicht zuletzt in der Approximationstheorie, der Optimierungstheorie und der Variationsrechnung Verwendung findet. Mit ihm verbunden sind die Begriffe der gleichgradigen Stetigkeit und der kompakten Konvergenz.Peter Kosmol: Optimierung und Approximation. 2010, S. 69 ff.Peter Kosmol, Dieter Müller-Wichards: Optimization in Function Spaces. 2011, S. 134 ff.
Definition Gegeben seien zwei beliebige metrische Räume und sowie abzählbar viele Funktionen .
Man sagt dann, dass die Funktionenfolge stetig konvergent gegen ist, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Für jedes und für jede in konvergente Folge gilt in stets die Konvergenz .
Man sagt dann auch, die Funktionenfolge der konvergiere stetig gegen oder Ähnliches.Kosmol, op. cit., S. 71Kosmol / Müller-Wichards, op. cit., S. 134
Zusammenhang der Begrifflichkeiten Der Zusammenhang zwischen stetiger Konvergenz, kompakter Konvergenz und gleichgradiger Stetigkeit wird durch folgenden Satz aufgezeigt:Kosmol, op. cit., S. 336–337Kosmol / Müller-Wichards, op. cit., S. 134 Gegeben seien zwei metrische Räume und und dazu abzählbar viele Funktionen . Dabei gelte . Zudem seien die alle stetig. Dann sind die folgenden Aussagen gleichwertig: (i) Die bilden eine gleichgradig stetige Funktionenfolge. (ii) ist eine stetige Funktion und die Funktionenfolge konvergiert stetig gegen . (iii) Die Funktionenfolge konvergiert kompakt gegen .
Der Satz von Dini In den obigen Zusammenhang lässt sich nicht zuletzt der bekannte Satz von Dini bringen, der in einer erweiterten Fassung folgendermaßen dargestellt werden kann:Kosmol / Müller-Wichards, op. cit., S. 133 Gegeben seien auf einem metrischen Raum eine punktweise konvergente und monotone Funktionenfolge reellwertiger stetiger Funktionen, deren Grenzfunktion ebenfalls stetig sein soll. Dann ist die Konvergenz dieser Funktionenfolge stetig und auf jeder kompakten Teilmenge des metrischen Raums gleichmäßig.
Stetige Konvergenz auf Banachräumen Als weiteres Resultat aus dem obigen Satz gewinnt man ein Resultat für gewisse Folgen konvexer Funktionale auf Banachräumen:Kosmol, op. cit., S. 338 Gegeben seien ein Banachraum und darin ein konvexes Gebiet sowie eine Funktionenfolge von stetigen konvexen Funktionen , welche punktweise gegen eine Grenzfunktion konvergieren sollen. Dann gilt: (1) Die Grenzfunktion ist konvex und stetig. (2) Die Funktionenfolge konvergiert stetig und kompakt.
Anmerkungen Aus stetiger Konvergenz folgt stets punktweise Konvergenz. Jeder Banachraum ist ein normierter Raum und als solcher unter der zugehörigen Metrik ein vollständiger Raum.
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Funktionalanalysis Kategorie:Numerische Mathematik